Explicación Conceptual de la integral de la divergencia.

Question

$\textbf{My understanding of divergence:}$ Considere la posibilidad de cualquier campo vectorial $\textbf{u}$,$\operatorname{div}(u) = \nabla \cdot u$. Más conceptualmente, si pongo una arbitrariamente pequeña esfera alrededor de cualquier punto del campo de vectores $\textbf{u}$, divergencia de las medidas de la cantidad de "partículas" de salir de la esfera, es decir, positiva divergencia representan un campo de vectores que se "mueve más rápido" a medida que nos movemos hacia la derecha. Sin embargo, ¿cómo debo interpretar $$ \int_U \operatorname{div}(u) \, dx$$ where $U$ is any bounded open subset of $\mathbb{R}^n$.

Answer 1

En lugar de ser la "cantidad de 'partículas' salir de la esfera", la diferencia es la cantidad por unidad de volumen, es decir, la relación de la cantidad de cosas de salir a volumen. La integral es entonces la cantidad total de salir.

Answer 2

Una definición de la divergencia es

$$\nabla \cdot \vec F(\vec r) = \lim_{\Delta V \to 0} \left(\frac{\oint_S \vec F(\vec r') \cdot \hat n' dS'}{\Delta V}\right)$$

donde la superficie de la $S$ es el límite para el volumen de $\Delta V$, que incluye el punto de $\vec r$. Esto muestra claramente que la divergencia es el de las salidas netas de flujo (de $F$) por unidad de volumen en un punto.