$x^2=y^2=(x+y)^2 = 0$ pero $xy \neq 0$ ?

Question

Estoy buscando un ejemplo de un anillo conmutativo con dos elementos $x,y$ tal que $x^2=y^2=(x+y)^2=0$ y $xy \neq 0$ . Obviamente, $2$ debe ser un divisor cero en tal anillo. No creo que los productos de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ lo hará. ¿Alguien tiene una idea?

Answer 1

Un ejemplo de lo que necesita es $\mathbb F_2[x,y]\stackrel {def}{=}\mathbb F_2[X,Y]/(X^2,Y^2)$
Lo que puede no ser del todo evidente es que $xy\neq 0$ .
Esto significa que en $\mathbb F_2[X,Y]$ el monomio $XY$ no está en el ideal $(X^2, Y^2)$ o que una ecuación $$ XY=X^2f(X,Y)+Y^2g(X, Y)\quad \text{with }f(X,Y),g(X,Y)\in \mathbb F_2[X,Y]$$ es imposible.
Pero esto está claro: tomando las componentes de grado 2 de ambos lados se obtiene $XY=X^2f(0,0)+Y^2g(0,0)$ , una imposibilidad obvia.

Answer 2

Dejemos que $E_2=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$. Consider the ring of matrices over $\mathbb{F}_2$ generated by $$ 0,\ I_4,\ x=\begin{pmatrix}E_2&0\\0&E_2\end{pmatrix},\ y=\begin{pmatrix}I_2&I_2\\I_2&I_2\end{pmatrix} $$ bajo la suma y multiplicación matricial habitual.