Grupo conjetura

Question

Conjetura:

Dado un grupo finito $G$ y un subconjunto $A\subset G$. Entonces $\{A,A^2,A^3,\dots\}$ es un grupo de iff $\forall n\in \mathbb N: |A^n|=|A^{n+1}|$.

Dado que la composición entre los subconjuntos $A,B\subset G$ es $A\cdot B=\{g\in G|\exists a\in A\exists b\in B:g=a\cdot b\}$.

Ejemplo: supongamos que $N\subset G$ es un subgrupo normal, entonces el cosets $\{Ng,Ng^2,...\}$ tienen la misma cardinalidad, y se constituye en un grupo, mientras que para los grupos aleatorios de la cardinalidad parece crecer cuando se multiplica:

{ 3412 2143 4321 1234 } { 2143 1234 } nswap pnormal . -1  ok
{ 3412 2143 4321 1234 } { 2143 1234 } pquotient set. {{3412,4321},{2143,1234}} ok
{ 4321 3412 } go  ok
gen. {4321,3412} ok
gen. {2143,1234} ok
gen. {4321,3412} ok
ndrop  ok
{ 2431 2341 } go  ok
gen. {2431,2341} ok
gen. {4132,3142,4312,3412} ok
gen. {1234,1243,3214,4213,1324,1423,3124,4123} ok
gen. {2413,2314,3421,4321,1423,1324,2341,2431,2143,2134,3241,4231,1243,1234} ok
gen. {4123,3124,4321,3421,2143,2134,4132,3142,4213,3214,4231,3241,3412,4312,1432,1342,2413,2314,2431,2341} ok
gen. {4231,3241,1234,1243,3214,4213,1432,1342,1324,1423,2134,2143,2314,2413,4123,3124,4321,3421,4132,3142,4312,3412} ok
gen. {3412,4312,2314,2413,2341,2431,2143,2134,4321,3421,3241,4231,1342,1432,3142,4132,1234,1243,3214,4213,1324,1423,3124,4123} ok
gen. {4123,3124,3142,4132,3412,4312,1432,1342,3214,4213,2413,2314,3421,4321,1423,1324,2341,2431,2143,2134,3241,4231,1243,1234} ok
ndrop  ok

Answer 1

Es cierto que $A^n$ grandes $n$ es un grupo (ahora me doy cuenta de que creo que he entendido tu pregunta):

La finitud de $G$ implica que el $A^n$ eventualmente contiene $1$ (cada elemento tiene algunos $n$, de modo que $a^n = 1$). Por lo que su hipótesis sobre las órdenes implica que $A^n = A^{n+1}$ después de ese punto.

A continuación, para $a \in A^n$, la multiplicación por $a$ da un inyectiva mapa $A^n \to A^{n+1}$ ($ag = ah$ implica $g = h$ en un grupo). Por encasillar principal, esto también es surjective. Esto implica que hay algo de $x \in A^n$, de modo que $ax = 1$, por lo tanto $A^n$ contiene la inversa de todos sus elementos.

Por lo tanto $A^n$ es un subconjunto de un grupo que contiene a $1$ y es cerrado bajo la multiplicación y la inversión. Así que es un subgrupo.

Answer 2

Supongamos que $A$ verifica la condición. Existe $a$ tal que $a^n=1\in A^n$. Esto implica que $A^i\subset A^{n+1}$ $i\leq n$, desde $\mid A^i\mid = \mid A^{n+1}\mid$, podemos deducir que $A^i=A^{n+1}$, lo $1\in A^n=A$$A=A^2$. Esto implica que para $a,b\in A, ab\in A^2\subset A$. Deje $a\in A$, ya que el $G$ es finito, existe $l$ tal que $a^l=1$, lo $1\in A$ $a^{l-1}\in A^{l-1}= A$ es la inversa de a $a$.

Answer 3

El conjunto de subconjuntos no vacíos de un grupo finito $G$ formas un semigroup. Se sabe que los subgrupos de este semigroup son precisamente los de la forma

$$H/K = \{hK : h \in H \}$$

donde $K \trianglelefteq H \leq G$. Esto no es difícil de probar, ver, por ejemplo, 3.57 en "Un Curso en Teoría de grupos" por Rose. En cualquier caso, esto demuestra que su condición es necesaria, pues el $|hK| = |h'K|$.

Ver también esta pregunta.

Answer 4

La primera parte:

Si $x_1,\dots , x_m$ $y_1,\dots ,y_n$ dos series de elementos distintos de lo finito grupo$G$$m\le n$, luego $|\{x_1,\dots x_m\}\cdot\{y_1,\dots ,y_n\}|\ge n$. Eso es debido a que$|\{x_iy_1,\dots,x_iy_n\}|= n$ (anulación de la ley) y $\{x_iy_1,\dots,x_iy_n\}\subseteq\{x_1,\dots x_{m}\}\cdot\{y_1,\dots ,y_n\}$. Por lo tanto, $|A|,|A^2|,|A^3|,\dots$ es no decreciente y desde $G$ es finito esta serie va a ser constante. Si $|A^k|<|A^{k+1}|$ no podía ser de inversa de a $A^k$ de la forma $A^i$ desde $A^k$, entonces sería en un ciclo incluyendo $A^{k+1}$, y por lo tanto $\{A,A^2,A^3\dots\}$ no es un grupo si $|A^n|\neq|A^{n+1}|$ algunos $n$.

La segunda parte:

Supongamos que $\forall i:|A^i|=|A^{i+1}|$. Desde $G$ es finito no es un $n$, de modo que $e\in A^n$ y por lo tanto $A^i\subseteq A^i\cdot A^n= A^n\cdot A^i$ y desde $|A^i|=|A^i\cdot A^n|$ debe mantener ese $A^i= A^i\cdot A^n$, ¿por qué $A^n$ es una identidad en $\{A,A^2,A^3,...\}$. Obviamente $A^{n-i}$ es la inversa de a $A^i$ y por lo tanto $\{A,A^2,A^3,...\}$ es un grupo.