En la Sección 13 de la Probabilidad y la Medida por Billingsley, se ha demostrado que para que un espacio medible $(F, \mathcal{F})$, $g:F\rightarrow \mathbb{R}^m$ y $g_i: F\rightarrow \mathbb{R}$ con $g(x) = [g_1(x),\cdots, g_m(x)], \forall x \in F$, $g$ es $\mathcal{F}/\mathcal{B}(\mathbb{R}^m)$ medible si y sólo si $g_i$ $\mathcal{F}/\mathcal{B}(\mathbb{R})$ medibles.
De manera más general, supongamos $\{ (G_i, \mathcal{G}_i), i=1,\cdots,m \}$ son medibles espacio, $(\prod_{i=1}^m G_i, \mathcal{G})$ también se pueden medir los espacios, sino $\mathcal{G}$ puede no ser $\prod_{i=1}^m \mathcal{G}_i$. para $g:F \rightarrow \prod_{i=1}^m G_i$, y $g_i: F \rightarrow G_i$ with $g(x) = [g_1(x),\cdots, g_m(x)]$. Yo pregunto ¿cuáles son algunas de las condiciones bajo las cuales $g$ es medible si y sólo si $g_i: F \rightarrow G_i, i=1, \cdots, m$ son medibles? Puede el hecho de $g(x)=[g_1(x),⋯,g_m(x)]$ ser utilizado en sus condiciones?
¿De qué manera sus condiciones de ser utilizado para explicar el ejemplo cuando $(G_i, \mathcal{G_i}) = (\mathbb{R}, \mathcal{B}(R))$ and $(\prod_{i=1}^m G_i, \mathcal{G}) = (\mathbb{R}^m, \mathcal{B}(\mathbb{R}^m))$ mencionadas anteriormente? Gracias y saludos!
