¿Cómo puedo demostrar que $$n^4 + 4$$ es compuesto para todos los $n > 5$ ?
Este problema parecía muy sencillo, pero tardé 6 horas y no conseguí nada :(. Lo dividí en casos basándome en el teorema del resto del cociente, pero no dio ninguna información útil.
Además, trato de tener en cuenta el factor: $$n^4 - 16 + 20 = ( n^2 - 4 )( n^2 + 4 ) - 5\cdot4$$ Si se añade un compuesto a un número que es múltiplo de $5$ ¿hay algo especial? Una pista sería suficiente.
Gracias,
Chan
Se puede calcular $n^{4}+4$ algebraicamente encontrando las cuatro raíces de $n^{4}+4=0$ .
Desde $n^{4}+4=0\Leftrightarrow n^{4}=4e^{i\pi }$ tenemos
$$\begin{eqnarray*} n &=&4^{1/4}e^{i (\pi +2k\pi)/4}\quad k=0,1,2,3 \\ && \\ n &=&\sqrt{2}e^{i\pi /4 }=1+i\quad \left( k=0\right) \\[2ex] n &=&\sqrt{2}e^{i 3\pi /4 }=-1+i\quad \left( k=1\right) \\[2ex] n &=&\sqrt{2}e^{i 5\pi/4 }=-1-i\quad \left( k=2\right) \\[2ex] n &=&\sqrt{2}e^{i 7\pi/4}=1-i\quad \left( k=3\right). \end{eqnarray*}$$
Ahora combinando los factores complejos conjugados, obtenemos
$$\begin{eqnarray*} n^{4}+4 &=&\left( n-1-i\right) \left( n+1-i\right) \left( n+1+i\right) \left( n-1+i\right) \\ &=&\left( \left( n+1-i\right) \left( n+1+i\right) \right) \left( \left( n-1-i\right) \left( n-1+i\right) \right) \\ &=&\left( n^{2}+2n+2\right) \left( n^{2}-2n+2\right). \end{eqnarray*}$$
Nota : para $n>1$ , $n^2+2n+2>5$ y $n^2-2n+2>1$ .
Una persona asigna un valor a cuatro objetos y los valores se ordenan. Si se asignan valores a tres objetos, el valor que se asignará al cuarto objeto está predeterminado.
Ahora, esto significa que para cada observación, tenemos una permutación de {1,2,3,4}.
Todas las permutaciones posibles son 24 para este conjunto. A cada permutación se le puede dar un id. Esta columna id representará las 4 lecturas de esa observación. Ahora, esta columna de identificación sustituirá a las cuatro columnas de la variable dependiente y podremos hacer una regresión utilizando, por ejemplo, un modelo logístico. El número de clases será de 24, así que esto dependerá de todas las permutaciones que tenga y del número de observaciones también. Así que, dependiendo del número de observaciones y del número de permutaciones reales presentes, se pueden dar "id" en consecuencia. Ahora, cuando se predice la permutación, sabremos de inmediato la permutación, por ejemplo, por 12 si nos referimos a {2,1,4,3} entonces si la lectura predicha es 12, obtendremos de inmediato la columna de lecturas.
BTW, vi por primera vez ese problema en el primer capítulo de Apostol Introducción a la teoría analítica de números . Inmediatamente pensé en utilizar el teorema de Fermat: $n^4+4$ es divisible por 5, pero eso sólo funciona cuando $n$ no es un múltiplo de 5. Ahora bien, Apostol no habla del teorema de Fermat hasta más tarde, así que tenía que haber una razón más fundamental. Por desgracia, era una razón algebraica, no una razón aritmética.
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Por qué la condición $n>5$ ? Es suficiente $n>1$ .