Demostrando una desigualdad:

Question

<pre><code></code><p>0 $<\alpha \leq$1</p><p>$^\alpha$ + b $^\alpha$ $\geq$de #% (a + b) $^\alpha$<br> $\forall a,b \geq 0$</p><p>Me dieron una pista: podemos asumir b $\geq$0 $(\frac{a}{b})^\alpha$ +1$\geq$ $(\frac{a}{c}+1)^\alpha$ por lo que basta para demostrar f (x) $\geq$0:</p><p>f (x) = x +1 - (x +1) $^{\alpha}$ $^\alpha$</p></pre>

Answer 1

Tenemos la igualdad si $\alpha=1$. Así, podemos asumir que el $\alpha\lt 1$. Tenemos la igualdad cuando la $a=b=0$. Así que sin pérdida de generalidad podemos suponer que $b\gt 0$. A continuación, nuestra desigualdad es equivalente a $$\left(\frac{a}{b}\right)^\alpha+1\ge \left(\frac{a}{b}+1\right)^\alpha.$$ Vamos a mostrar que $$x^\alpha +1\ge (x+1)^\alpha\quad\text{when}\quad x\ge 0.\tag{1}$$ Establecimiento $x=\frac{a}{b}$ producirá el resultado deseado.

Deje $f(x)=x^\alpha +1-(1+x)^\alpha$. Para demostrar la Desigualdad (1), vamos a mostrar que el $f(x)\ge 0$ todos los $x\ge 0$.

Tenemos $f(x)=0$ al $x=0$. Vamos a mostrar que para $x\gt 0$, $f(x)$ es una función creciente. Esto implica que a $f(x)\gt 0$ todos los $x\gt 0$. Tenga en cuenta que $$f'(x)=\alpha\left(\frac{1}{x^{1-\alpha}}-\frac{1}{(1+x)^{1-\alpha}}\right).$$ Por lo tanto $f'(x)$ es positivo si $x\gt 0$, ya que el $x^{1-\alpha}\lt (1+x)^{1-\alpha}$. De ello se desprende que para $x\gt 0$, $f(x)$ es una función creciente. Desde $f(0)=0$, esto completa la prueba.