El espacio de fase en la mecánica cuántica y el principio de incertidumbre de Heisenberg

Question

En mi libro sobre mecánica cuántica dan una derivación que para una partícula un área de $h$ en $2D$ El espacio de fase contiene exactamente un estado mecánico cuántico. En mi libro sobre física estadística hacen exactamente lo mismo, pero ahora para $6D$ espacio de fase (ahora un estado mecánico cuántico cubre un volumen de $h^3$ ).

No estoy seguro de interpretarlo bien. ¿Significa esto que en este $6D$ volumen del espacio de fase (de $h^3$ ), la partícula sólo puede estar en exactamente un lugar con un único conjunto posible de vectores de momento $p_x$ , $p_y$ , $p_z$ (así es como yo interpreto "un estado posible")?

Si esta interpretación es correcta, tengo el siguiente problema. Ambos libros dicen que esto se ajusta al principio de incertidumbre de Heisenberg, pero no veo por qué. Me parece que porque se puede medir (f.i. en $2D$ espacio de fase) $p_x$ y $x$ para que $xp_x = h$ y como ésta es exactamente la superficie del espacio de fase en la que sólo hay un estado, que ahora se ha determinado exactamente la posición y el momento de la partícula (porque sólo hay un estado en esta zona). Por eso supongo que algo falla en mi interpretación (aunque parece coincidir con la derivación).

Answer 1

Su interpretación no es del todo correcta. Una interpretación aguda que se puede dar a este "corte" del espacio de fase en cubos de tamaño $h^{2N}$ (aquí $N$ es la dimensión del espacio de configuración del sistema), es que permite utilizar el espacio de fase clásico para contar el número de estados propios de energía del hamiltoniano cuántico correspondiente. En lugar de intentar describir lo que quiero decir, investiguemos este asunto mediante un ejemplo.

Consideremos, el oscilador armónico simple unidimensional. El hamiltoniano es $$ H(q,p) = \frac{1}{2m}p^2 + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2 $$ Digamos que quiero responder a lo siguiente:

Pregunta. Dada una energía $E>0$ cuántos estados hay con energías inferiores a $E$ ?

Ahora bien, hay que tener cuidado aquí porque el término "estado" significa cosas diferentes en los casos clásico y cuántico. En el caso clásico, un estado es un punto $(q,p)$ en el espacio de fase. En el caso cuántico, un estado es un vector en el espacio de Hilbert. Por tanto, podemos reinterpretar la pregunta de la siguiente manera:

Versión clásica. ¿Cuál es el área $A(E)$ de la región de fase correspondiente a todos los estados clásicos $(q,p)$ con energías inferiores a $E$ ?

Versión cuántica. Cuántos estados propios de energía $\Omega(E)$ posee el Hamiltoniano con energías menores a $E$ ?

Lo sorprendente es que siempre que midamos el área en el espacio de fase en unidades de $h$ y siempre que consideremos $h$ sea mucho menor que las otras escalas del problema, ambas preguntas darán (aproximadamente) la misma respuesta. Demostremos esto. En el caso clásico, la región del espacio de fases que contiene todos los estados con energías inferiores a $E$ es el área del interior de la elipse definida por $$ E< H(q,p) $$ Resulta que el área de esta elipse es $$ A(E) = \frac{2\pi E}{\omega} $$ Por otro lado, en el caso cuántico recordemos que los valores propios de energía son $E_n = (n+1/2)\hbar\omega$ . Esto significa que el número de estados propios que tienen una energía inferior a $E$ se encuentra resolviendo $$ (\Omega(E) + \tfrac{1}{2})\hbar\omega =E $$ que, para $h$ pequeño da $$ \Omega(E) \sim \frac{E}{\hbar\omega} $$ Ahora es cuando ocurre la magia, fíjate que $$ \frac{A(E)}{\Omega(E)} \sim \frac{\frac{2\pi E}{\omega}}{\frac{E}{\hbar\omega}} = 2\pi \hbar = h $$ por lo que tenemos $$ \boxed{\Omega(E) \sim\frac{A(E)}{h}} $$ En palabras: el área del espacio de fase, medida en unidades de $h$ nos permite contar con precisión el número de estados cuánticos por debajo de una energía determinada