Estoy en busca de ejemplos de Lagrange, que son al menos de segundo orden en los derivados y covariante, preferible que teorías del campo. Hasta ahora he podido solo encontrar primer orden (como en Klein-Gordon-Lagrange) o no covariante (e.g. KdV) unos. También algunos consejos a la literatura acerca de las propiedades generales de estos sistemas son agradables. Gracias
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Tom SymplMech
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Usted puede mirar el Lagrangiano para el galileon partículas por ejemplo en este artículo. Tiene la propiedad de que las ecuaciones de movimiento sigue siendo de 2 º orden en los derivados y covariante.
Stefano
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I) Como usuario Vibert menciona en un comentario, el de Euler-Lagrange las ecuaciones son no modificados$^1$ mediante la adición total de divergencia en términos de la densidad Lagrangiana
$$ \tag{1} {\cal L} ~ \longrightarrow ~{\cal L} +d_{\mu}F^{\mu}. $$
La adición total de divergencia en términos conduce a una fuente inagotable de orden superior Lagrangians.
II) de forma Genérica, sin algún mecanismo de cancelación en el lugar [como por ejemplo, que parte de la densidad Lagrangiana es (en secreto) un total de divergencia] un $n$-fin de la acción llevaría a $2n$-fin de Euler-Lagrange las ecuaciones.
III) Ejemplo. La de Einstein-Hilbert (EH) densidad Lagrangiana
$$\tag{2} {\cal L}_{EH}~\sim~\sqrt{-g} \left\{g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}(\Gamma_{LC},\partial\Gamma_{LC})-2\Lambda\right\} $$
depende tanto de segundo orden temporal y espacial de los derivados de la métrica $g_{\mu\nu}$. Evidentemente, esto es un ejemplo importante. Aquí $\Gamma_{LC}$ se refieren a la de Levi-Civita (LC) símbolos de Christoffel, que a su vez son de primer orden derivados de la métrica $g_{\mu\nu}$. Sin embargo, es posible añadir una total divergencia plazo para rendir el Lagrangiano de densidad de primer orden, como usuario de drake menciona en un comentario. Por lo tanto el de Euler-Lagrange las ecuaciones de la acción de Einstein-Hilbert $S_{EH}[g_{\mu\nu}]$, es decir, las ecuaciones de campo de Einstein (EFE), no son de cuarto orden, como uno puede ingenuamente esperaba, pero todavía de segundo orden.
IV) de orden Superior Lagrangians también son discutidos en muchos Phys.SE postes, ver, por ejemplo, aquí y aquí.
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$^1$ Tenga en cuenta que la adición total de divergencia en términos de (1) puede afectar opciones coherentes de las condiciones de contorno para la teoría.
