Descripción de variedades en $\mathbb{P}^2\times \mathbb{P}^1$

Question

Si $[x:y]$ coordenadas de $\mathbb{P}^1$ y $[X:Y:Z]$ $\mathbb{P}^2$ coordenadas, ¿qué las siguientes variedades de aspecto?

1. $V(x^2X+y^2Y+xyZ)\subset \mathbb{P}^2\times \mathbb{P}^1$
2. $V(x^2X^2+y^2Y^2+xyZ^2)\subset \mathbb{P}^2\times \mathbb{P}^1$

A partir de ahora, yo no muy sé visualizar estas variedades. Una imagen geométrica detallada sería especialmente bienvenida.

Answer 1

Echemos un vistazo a su primera variedad $V(x^2X+y^2Y+xyZ)\subset \mathbb{P}^2\times \mathbb{P}^1$.
Usted puede visualizar como una familia de variedades en dos maneras.
a) Un parámetro de una familia de rectas en el plano proyectivo parametrizadas por los puntos de la línea proyectiva: corregir algún punto de $(x_0:y_0)\in \mathbb P^1$ y se obtiene la línea de $V(x^2_0X+y^2_0Y+x_0y_0Z)\subset \mathbb{P}^2$

b) Una de las dos parámetros de la familia de el doble de puntos parametrizadas por los puntos del plano proyectivo: corregir algún punto de $(X_0:Y_0:Z_0)\in \mathbb P^2$ y obtener el doble punto de $V(X_0x^2+Y_0y^2+Z_0xy)\subset \mathbb{P}^1$.
Por supuesto, estos dos puntos son para ser tomadas en el esquema teórico de sentido: si $Z_0^2-4X_0Y_0=0$, solo un punto físico en la línea
[Recuerde de alta escuela, la ecuación de $ax^2+bx+c=0$ y en el caso de coalesceing raíces $b^2-4ac=0$ ?]

La segunda variedad debe ser analizado de una manera similar.
Esto es sólo la punta de un iceberg llamado "algebraica de las familias de los esquemas", la participación de planitud, el polinomio de Hilbert,...
Pero es agradable ver ejemplos específicos, como aquí, como un sencillo, manos sobre la iniciación.