Esta es la Proposición 5.1 Introducción a Topológico de Colectores por Lee
Entiendo que la prueba hasta el punto en donde se menciona que "porque acotamiento de $f^{-1}$ implica $F(x) \to 0$$x \to 0$"
Pero $f^{-1}[\mathbb{S}^{n-1}] \subseteq \mathbb{R}^n \not\subseteq \mathbb{R}$, por lo que no podemos usar el Teorema del Valor Extremo aquí, que es lo que le da acotamiento de una función en el caso más general (creo).
Esto es lo que el autor quiere decir, creo. Creo que el autor se refiere a que existe una función de $g : \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{R}$ definido por $g(x) = d(0, f^{-1}(x)) = |f^{-1}(x)|$ que es continua y por lo tanto $g[\mathbb{S}^{n-1}] \subseteq \mathbb{R}$ es compacto, por lo $g$ es limitada (por el teorema del valor extremo).
Por lo tanto $\sup(g[\mathbb{S}^{n-1}])$ existe, que voy a llamar a $\alpha$. Ahora coger $x \in \overline{\mathbb{B}^{n}}$, luego tenemos a $|x|\alpha \to 0$ $x \to 0$ $\implies$ $|x| \cdot \left|f^{-1}\left(\frac{x}{|x|}\right)\right| \to 0$ como $x\to 0$ $\implies$ $|x| \cdot f^{-1}\left(\frac{x}{|x|}\right)\to 0$ como $x\to 0$ $x \in \overline{\mathbb{B}^{n}}$ $\implies F(x) \to 0$ como $x \to 0$.
Es que lo que el autor quiere decir? Si mi análisis anterior es un poco descuidado, por favor hágamelo saber para que pueda corregirlo.
Lo que estoy básicamente tratando de preguntar es, ¿cómo puedo rigurosamente espectáculo $|x|f^{-1}\left(\frac{x}{|x|}\right) \to 0$$x \to 0$$x \in \overline{\mathbb{B}^{n-1}}$?
