Ejemplos de grupos abelianos sin torsión con grupo de automorfismo finito

Question

$\mathbb{Z}$ es un grupo abeliano sin torsión con grupo de automorfismo finito. ¿Existen otros ejemplos de estos grupos?

Salto de $\mathbb{Z}$ a $\mathbb{Q}$ no es bueno; ya que $\mathbb{Q}$ tiene un grupo de automorfismo infinito. ¿Existe algún grupo intermedio $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Q}$ con la propiedad requerida?

Answer 1

Si $G$ es un generado finitamente grupo abeliano, entonces $G \cong \mathbb{Z}^n\oplus\mathbb{Z}_{p_1^{n_1}}\oplus\dots\mathbb{Z}_{p_k^{n_k}}$ para algunos primos (no necesariamente distintos) $p_1, \dots, p_n$ y enteros no negativos $n, n_1, \dots, n_k$ . Si $G$ también es libre de torsión, entonces tenemos $G \cong \mathbb{Z}^n$ y por lo tanto $\operatorname{Aut}(G) \cong GL(n, \mathbb{Z})$ . Tenga en cuenta que $GL(1, \mathbb{Z}) = \{-1, 1\}$ que es finito, pero $GL(n, \mathbb{Z})$ es infinito para $n \geq 2$ . Por lo tanto, el único grupo abeliano finitamente generado y sin torsión con grupo de automorfismo finito es $\mathbb{Z}$ .

No estoy seguro sobre el caso de que no se genere infinitamente.

Answer 2

Ejercicio: Si $f$ es cualquier mapa del conjunto de los primos al conjunto de los enteros no negativos, entonces (1) el subgrupo $B_f$ de $\mathbf{Q}$ generado por $1/p^{f(p)}$ cuando $p$ tiene un grupo de automorfismo reducido a $\{\pm 1\}$ .

Y (2) $B_f$ y $B_g$ son isomorfos si y sólo si $f,g$ coinciden fuera de un subconjunto finito. (En particular, son incontables los grupos no isomorfos).