Serie de Laurent de la función compleja

Question

Así que quiero calcular la serie de Laurent de esta función

$$ f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \quad f(z) = \frac{1}{z^{2}+1}.$$

La serie de Laurent tiene que ser en esta forma:

$$\sum{n=- \infty }^{ \infty } a{n} (z-i)^n$$

un disco circular $$ 0

Con la expansión de la fracción parcial me estoy poniendo $$ f(z) =\frac{i}{2}\left( \frac{1}{z+i} - \frac{1}{z-i}\right).$ $

Para el primer sumando, $$\frac{1}{z+i} = \frac{1}{2i} \frac{1}{1+\frac{z-i}{2i}} = \frac{1}{2i} \sum{n= 0 }^{ \infty }\left(\frac{-(z-i)}{2i}\right)^n = \frac{1}{2i} \sum{n= 0 }^{ \infty } \left(\frac{i}{2}\right)^n (z-i)^n $de % $ % $ de $$\left|\frac{-(z-i)}{2i}\right|

Answer 1

En mi opinión es más fácil sin la fracción parcial descomposición: que $z=w+i$ después de $0

Answer 2

Nota: a Pesar de la pregunta al final con respecto a cómo continuar nota que ya todos los cálculos se realizaron con el fin de resolver el problema.

La función \begin{align*} f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \quad f(z) &= \frac{1}{z^{2}+1}\\ &=\frac{i}{2}\left( \frac{1}{z+i} - \frac{1}{z-i}\right)\tag{1} \end{align*} es para ampliar en una de la serie de Laurent en $z=i$.

Observamos en (1) que \begin{align*} -\frac{i}{2}\cdot\frac{1}{z-i}\tag{2} \end{align*} es la parte principal de la serie de Laurent $f$. Por otra parte, sabemos que \begin{align*} \frac{i}{2}\cdot\frac{1}{z+i}=\frac{1}{4} \sum_{n= 0 }^{ \infty } \left(\frac{i}{2}\right)^n (z-i)^n\tag{3} \end{align*} es el poder de la serie representación de $f$ $z=i$ con la región de convergencia $|z-i|<2$.

Llegamos a la conclusión de (2) y (3) las Laurent expansión de la serie de $f$ $z=i$ es \begin{align*} f(z)&=\frac{1}{z^{2}+1}\\ &\color{blue}{=-\frac{i}{2}\cdot\frac{1}{z-i}+\frac{1}{4}\sum_{n= 0 }^{ \infty } \left(\frac{i}{2}\right)^n (z-i)^n} \end{align*}