Combinaciones de RV de Chi-Cuadrado Inverso i.i. y sus funciones características

Question

Estoy trabajando en unos problemas de autoestudio en teoría de la probabilidad/medida y estoy atascado en las funciones características. Tengo el siguiente problema:

Dada: $X_1,\ldots,X_n$ son variables aleatorias iid inversas chi-cuadrado(1) con PDF:

$f(x;\nu)=\frac{2^{-\nu/2}}{\Gamma(\nu/2)}x^{-\nu/2-1}e^{-1/(2x)}$

¿Cuál es la función característica de $\frac14(X_1-X_2)$

¿Cuál es la función característica de $\frac1{n^2}(X_1+\cdots+X_n)$

¿El segundo ejemplo está relacionado con la distribución normal?

Por último, ¿cómo puedo verificar que $E(X_1^r)<\infty$ si y sólo si $r<\frac12$

Ideas/intentos

Encontré el CF de $X_1$ para ser $\frac{2}{\Gamma\frac{\phi}{2}}\left(\frac{-it}{2}\right)^{\frac\phi4}K_{\frac\phi2}\left(\sqrt{-2it}\right)$ sólo buscando por ahí, pero no sé/entiendo qué $K$ representa.

Me cuesta ver lo que significa la suma o diferencia de dos RV con el CF anterior, y de igual manera una suma de ellos.

Para la tercera parte, el "si" es bastante sencillo, pero ¿cómo planteo la demostración del "sólo si"?

Más pensamientos

He encontrado los siguientes resultados para combinaciones de FCs:

$\phi_{aX+b}(t)=e^{ibt}\phi_X(at),\forall a,b,t\in\mathbb{R}$

Si $X_1,...,X_n$ son independientes, entonces $\phi_{X_1+...+X_n}(t)=\prod_{k=1}^n\phi_{X_k}(t)$

Si $X_1,X_2$ son independientes y tienen la misma distribución, entonces $\phi_{X_1-X_2}(t)=|\phi_{X_1}(t)|^2$

Estos hechos ayudan a empezar, pero no sé cómo continuar.

Muchas gracias.

Answer 1

Utilicemos esto como PDF para la distribución chi-cuadrado inversa

$$f(x; \nu) = \frac{2^{-\nu/2}}{\Gamma(\nu/2)}\,x^{-\nu/2-1} e^{-1/(2 x)}$$

La función característica es

$$\phi_X(t)=\int_0^{+\infty} f(x; \nu) e^{itx}\,\mathrm{d}x$$

$$=\int_0^{+\infty} \frac{2^{-\nu/2}}{\Gamma(\nu/2)}\,x^{-\nu/2-1} e^{-1/(2 x)} e^{itx}\,\mathrm{d}x$$

No es una integral fácil. Probablemente la función $K$ en su resultado es la integral elíptica completa del primer tipo.

Cuando calculas la integral usando WA obtienes algo con una función hipergeométrica, que probablemente se puede convertir en una integral elíptica completa del primer tipo.

Para responder a su segunda pregunta

$$\phi_{\frac{1}{4}(X_1-X_2)}=\frac{1}{4}\phi_{X_1}(t)\phi_{X_2}(-t)$$

Para responder a su tercera pregunta

$$E(x^r)=\int_0^{\infty}x^r \cdot f(x; \nu)\mathrm{d}x$$

diverge cuando $r < \nu/2$