$\tan(a) = 3/4$ y $\tan (b) = 5/12$ ¿Qué es? $\cos(a+b)$

Question

Se sabe que $$\tan(a) = \frac{3}{4}, \:\:\: \tan(b) = \frac{5}{12} $$ con $a,b < \frac{\pi}{2}$ . ¿Qué es? $\cos(a+b)$ ?

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Intento :

$$ \cos(a+b) = \cos(a) \cos(b) - \sin(a) \sin(b) $$ Y podemos escribir $\tan(a) = \sin(a)/\cos(a) = 0.3/0.4 $ y $ \sin(b)/\cos(b) = 0.05/0.12 $ así que $$ \cos(a+b) = (0.4)(0.12) - (0.3) (0.05) = 33/1000$$

¿Es esto correcto? Gracias.

Answer 1

No, esto no puede ser correcto. Recuerde que $\sin^2x+\cos^2x=1$ para todos $x$ sus valores para el seno y el coseno de $a$ y $b$ no satisfacen esta relación.

Resulta que $$\sin a=\frac35\qquad\cos a=\frac45$$ $$\sin b=\frac5{13}\qquad\cos b=\frac{12}{13}$$ y por lo tanto $$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b=\frac45\cdot\frac{12}{13}-\frac35\cdot\frac5{13}=\frac{33}{65}$$

Answer 2

$$ \tan(a+b)= \frac {\tan a +\tan b}{1-\tan a \tan b} = \frac {3/4 +5/12}{1-(3/4)(5/12)}= \frac {56}{33}$$

$$ \sec^2(a+b)=1+\tan^2(a+b)=\frac {4225}{1089}=(\frac {65}{33})^2$$

$$\cos(a+b)= 33/65$$

Answer 3

Resuelve sin(a), cos(a), sin(b) y cos(b) (como dije en los comentarios):

$sin(a)=\frac{3}{5}$

$cos(a)=\frac{4}{5}$

$sin(b)=\frac{5}{13}$

$cos(b)=\frac{12}{13}$

Así, $$cos(a+b)=\frac{4}{5}\times\frac{12}{13}-\frac{3}{5}\times\frac{5}{13}=\frac{33}{65}$$