¿Cómo calcular el seno manualmente, sin reglas, calculadora o cualquier otra cosa?

Question

Quiero saber cómo calcular el valor de sin, no usando valores de tabla o calculadora.

Encontré este$\frac{(e^{ix})^2-1}{2ie^{ix}}$, pero ¿cómo tratar con$i$ number, si es$\sqrt{-1}$?

Answer 1

Usted ha cambiado muy rápidamente en un comentario a MrFatzo la respuesta a "¿cómo los equipos calcular el $\sin(x)$?", así que me voy a inferir que lo que usted está realmente tratando de hacer es:

¿Cómo calcular senos a partir de cero, sin tomar la palabra para la corrección de las tablas o de otra magia de los valores que entran en el cálculo?

Soy consciente de dos métodos:

1. Los antiguos contado sines en grados en lugar de radianes. Ellos crearon tablas de valores sinusoidales (en realidad acorde de valores, en los tiempos antiguos, pero que más o menos equivale a un mismo problema), comenzando con el $\sin(0^\circ)=0$, $\sin(90^\circ)=1$ y, a continuación, utilizando las fórmulas conocidas para $\sin(v/2)$ encontrar los senos de progresivamente más pequeños ángulos de $90^\circ$, y, a continuación, las fórmulas para $\sin(v+u)$ encontrar los senos de la suma de estos ángulos más pequeños. De esta forma se podría eventualmente llenar toda la tabla.

   En este método el cálculo de un único seno de cero no es realmente nada que hacer ... no es mucho menos trabajo que la creación de toda la tabla, es decir: años y años de arduo cálculos manuales.

   Ver Cómo evaluar funciones trigonométricas por lápiz y papel? para un poco más de detalle.

2. En tiempos más modernos, es decir, aproximadamente después de que el desarrollo del cálculo -- preferimos que nuestros senos en radianes. A continuación, el estándar de oro para lo que el valor de una condición sine debe ser es el poder de la serie: $$ \sin x = x - \frac16 x^3 + \frac1{120} x^5 - \cdots + \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} + \cdots $$ Esta serie converge muy rápido al $x$ es no más grande que un puñado de radianes, y es simple para estimar la convergencia a medida que avanza (una vez $2n>x$, el límite será estrictamente entre dos sucesivas sumas parciales), por lo que permite calcular solo los senos a partir de cero para cualquier precisión que usted desea.

El poder de la serie es lento, incluso para los equipos, si desea calcular millones de sines. Así , en la práctica, las computadoras y las calculadoras de utilizar varias combinaciones de ingeniosos métodos de interpolación y tablas que están integradas en el hardware. Las mesas finalmente fueron construidos utilizando el poder de la serie de métodos.

Answer 2

No estoy seguro de qué puede hacer "manualmente", pero tal vez intente usar una aproximación taylor.
Por ejemplo, puedes calcular$x-\frac{x^3}{6}$

Answer 3

Use el método anticuado: dibuje un círculo realmente grande, agregue el ángulo que desea calcular y mida.

Answer 4

Me gustaría sugerir un menos conocido método que se generaliza bien para muchas otras funciones, y puede ser muy eficiente, incluso cuando usted necesita para hacer todos los cálculos a mano:

El par $(c,s) = (\cos x, \sin x)$ (en radianes, por supuesto!) puede ser interpretado como la única solución a la ecuación diferencial ordinaria $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \begin{pmatrix}c\\s\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-s\\c\end{pmatrix} $$ con el inicio de la condición de $c(0) = 1$, $s(0) = 0$. Como tal, puede ser resuelto aproximadamente por el método de Runge-Kutta solucionadores de problemas. La idea es empezar desde cero y, a continuación, enfoque el valor de la meta paso a paso, el uso efectivo de una expansión de Taylor alrededor de cada punto. Debido a que los pasos son pequeños, la expansión de Taylor converge mucho más rápido que si se colocan directamente en el valor del objetivo.

Por qué esto es particularmente conveniente para el cálculo manual: puede seleccionar el paso de las longitudes de una manera para que los números se permanezca razonablemente bien en decimal, mientras que asegurarse de que los pasos son pequeños y agregar hasta el punto donde quieres ir.

Voy a utilizar el esquema de Heun, que es el más simple de estos iterativo solucionadores de problemas que en realidad le da utilizable precisión. Se basa en un 2º orden a la expansión de Taylor.

Así que digamos que usted desea calcular $\sin (45^\circ) = \sin (\tfrac\pi4)$. Sabemos que esto debe salir como $\sqrt2/2$, pero vamos a ver. Voy a recoger 0.2 como el valor predeterminado del tamaño de paso. Vamos a ir a:
$x_0=0$, $c_0=1$, $s_0=0$

1. $$\begin{align} h_1=&0.2 \\ x_1=&0.2 \\ \tilde c_1 =& c_0 - h_1\times s_0 = 1 \\ \tilde s_1 =& s_0 + h_1\times c_0 = 0.2 \\ c_1 =& c_0 - \frac{h_1}2\times (s_0 + \tilde s_1) = 1 - 0.1\times0.2 = 0.98 \\ s_1 =& s_0 + \frac{h_1}2\times (c_0 + \tilde c_1) = 0.2 \end{align}$$
2. $$\begin{align} h_2=&0.2 \\ x_2=&0.4 \\ \tilde c_2 =& c_1 - h_2\times s_1 = 0.98 - 0.2\times0.2 = 0.94 \\ \tilde s_2 =& s_1 + h_2\times c_1 = 0.2 + 0.2\cdot0.98 = 0.396 \\ c_2 =& c_1 - \frac{h_2}2\times (s_1 + \tilde s_2) = 0.98 - 0.1\times 0.596 = 0.9204 \\ s_2 =& s_1 + \frac{h_2}2\times (c_1 + \tilde c_2) = 0.2 + 0.1\times 1.92 = 0.392 \end{align}$$
3. $$\begin{align} h_3=&0.2 \\ x_3=&0.6 \\ \tilde c_3 =& \ldots = 0.9204 - 0.2\times 0.392 = 0.842 \\ \tilde s_3 =& \ldots = 0.392 + 0.2\times 0.9204 = 0.5768 \\ c_3 =& \ldots = 0.9204 - 0.1\times 0.9688 = 0.82352 \\ s_3 =& \ldots = 0.392 + 0.1\times 1.7624 = 0.56824 \end{align}$$
4. Ok, si ahora se hizo otro paso de 0.2, nos podemos acabar en el 0,8, sino $\pi/4 \approx 0.7854$. Así que sólo voy a hacer un paso de 0.1. También voy a empezar redondeo después del quinto decimal aquí. $$\begin{align} h_4=&0.1 \\ x_4=&0.7 \\ \tilde c_4 =& \ldots = 0.82352 - 0.1\times 0.56824 \approx 0.76670 \\ \tilde s_4 =& \ldots = 0.56824 + 0.1\times 0.82352 \approx 0.65059 \\ c_4 =& \ldots = 0.82352 - 0.05\times 1.21883 \approx 0.76258 \\ s_4 =& \ldots = 0.56824 + 0.05\times 1.53339 \approx 0.64491 \end{align}$$
5. $$\begin{align} h_5=&0.08 \\ x_5=&0.78 \\ \tilde c_5 =& \ldots = 0.76258 - 0.08\times 0.64491 \approx 0.71099 \\ \tilde s_5 =& \ldots = 0.64491 + 0.08\times 0.76258 \approx 0.70592 \\ c_5 =& \ldots = 0.76258 - 0.04\times 1.47357 \approx 0.70364 \\ s_5 =& \ldots = 0.64491 + 0.04\times 1.35083 \approx 0.69894 \end{align}$$

Bien, ahora estamos muy cerca de la $\tfrac\pi4$, y ya está bueno ver cómo los valores de $\cos$ $\sin$ llegan a ser muy similar, ya que la teoría dice $\sin(\tfrac\pi4) = \cos(\tfrac\pi4) = \tfrac{\sqrt2}2$. Podemos confirmar esto rápidamente cuadrado: $0.70364^2 \approx 0.495$. Razonablemente cerca de $0.5$. No grandes, pero también lo hice sólo cinco no-que-los pequeños pasos (ya que el esquema de Heun es de 2º orden precisa, haciendo que los pasos un poco más pequeño daría realmente notablemente mejor precisión) y esa es la principal ventaja de todos ellos sólo participan muy simples multiplicaciones, porque yo podía elegir el tamaño del paso, por lo que sería conveniente, a diferencia de en directo de Taylor de la serie de evaluación.

Esa también es la idea básica detrás del método CORDIC que ya fue mencionado en los comentarios. Que utiliza extra propiedades del seno y del coseno para lograr una mayor eficiencia, pero esto no es realmente necesario. Muchas de las funciones que se definen por una ODA eficiente de los evaluados por un método de Runge-Kutta de solver; a menudo el cuarto orden de la versión preferida es la que le da aún mejor convergencia.

En la práctica, este método es sólo superior a la de la directa Taylor si necesita varios valores de la función. Entonces, es muy bueno porque a) hacer una tabla de valores a medida que avanza b) usted calcular el seno y el coseno, que luego pueden combinarse mediante la explotación de la simetría/periodicidad de las propiedades.

Answer 5

Hay muchas maneras en que las funciones trigonométricas son calculados por equipos, incluyendo bastante impreciso (por ejemplo, la fsin método de los procesadores Intel es notorio). Una buena visión general de las implementaciones de muchas de las funciones se puede encontrar aquí como parte de la GNU MPFR de la biblioteca.