¿Existe una forma de medir este observable en QM?

Question

Sea un sistema cuántico descrito por el espacio de Hilbert $\mathscr{H}$ y que $|\psi\rangle$ sea un estado arbitrario. Definir el operador

$$P=|\psi\rangle\langle \psi|$$

Esto es hermitiano. Tiene dos valores propios: $0$ y $1$ con dos eigenspaces. El $1$ es el subespacio abarcado por $|\psi\rangle$ En otras palabras $$\mathscr{H}_1=\{\lambda |\psi\rangle : \lambda \in \mathbb{C}\}$$

mientras que el eigespacio correspondiente a cero es su complemento ortogonal $\mathscr{H}_2 = \mathscr{H}_1^\perp$ .

Dado que se trata de un observable, cabe esperar que pueda ser medido . Pero, ¿cómo se puede hacer físicamente esa medición?

La cuestión es que $P$ no se corresponde directamente con una cantidad física como el momento, la energía o el momento angular, que un experimentalista conocería de un procedimiento para medir en el laboratorio.

La cuestión es que si $A$ es una magnitud física con espacios eigénicos $\mathscr{H}_\lambda$ correspondientes a los valores $\lambda\in \sigma(A)$ los postulados de la mecánica cuántica nos permite decir "pues el estado del sistema se encuentra en $\mathscr{H}_\lambda$ " si cuando medimos $A$ obtenemos $\lambda$ .

Esto, en particular, nos permite preparar un sistema en cualquier estado propio de cualquier cantidad física que podamos medir. Pero preparar en estados arbitrarios sigue siendo algo extraño para mí.

Por supuesto, si se mide $P$ es posible, una medida de $P$ valor de rendimiento $1$ prepararía un sistema en el estado $|\psi\rangle$ .

Entonces, ¿hay alguna "forma generalizada" de medir este observable?

Answer 1

Dada una descripción de $|\psi\rangle$ Hay dos posibilidades. O bien sabes aplicar un operador unitario $U$ que mapea un estado base estándar que se puede medir, digamos $|0\rangle$ a ella o no. En cualquier caso ese operador unitario, $U$ existe; así que vamos a suponer que tú también lo sabes. También debo mencionar que la complejidad computacional, para el caso general, es un problema difícil.

Asumiendo que usted sabe $U$ entonces puede solicitar $U^\dagger$ a su operador:

$$Q=U^\dagger P U \ .$$ Y luego puedes hacer una medición en la base estándar.

Como nota al margen, supongamos que en tu laboratorio u ordenador cuántico sólo puedes aplicar un conjunto de puertas estándar limitadas: $\left\{U_1,U_2,\cdots,U_N\right\}\in\mathcal G$ . Si $\mathcal G$ es universal, se garantiza que se puede aproximar cualquier operador unitario con la precisión deseada con sus operadores.

Answer 2

Un procedimiento de medición no es más que un operador unitario que actúa sobre el producto tensorial del sistema y el dispositivo experimental y que enreda los dos tanto como sea posible. En el observable proyectivo del que hablamos, el resultado de la medición es 0 o 1, por lo que el dispositivo puede consistir en un único qubit con estados "clásicos" $|0\rangle$ y $|1\rangle$ que aparecen en la pantalla de nuestro dispositivo cuando pulsamos el "gran botón rojo".

El hamiltoniano puede ser prácticamente cualquier cosa, es una cuestión de ingeniería. Lo elegiremos de manera que después del tiempo $T$ induce la evolución unitaria $$U =(1-P) \otimes (|0\rangle\langle x| + | x\rangle\langle0|) + P \otimes(|1\rangle\langle x| + |x \rangle\langle 1|),$$ donde $|x\rangle$ es el estado inicial del dispositivo de medición, un estado que podemos preparar de forma fiable para nuestro dispositivo pulsando el botón de "reset". Se puede comprobar que $U$ es unitario. El Hamiltoniano que produce este operador después del tiempo $T$ es $H = -i\hbar \log U / T$ .

Para realizar la medición, preparamos nuestro dispositivo en estado $|x\rangle$ pulsando el botón de reinicio. Entonces lo ponemos en contacto con el estado desconocido $|\psi_0\rangle$ para el tiempo $T$ después de lo cual el estado combinado ha evolucionado a $$U(|\psi_0\rangle \otimes |x\rangle) = (1-P)|\psi_0\rangle \otimes |0\rangle + P|\psi_0\rangle \otimes |1\rangle.$$ Entonces pulsamos el gran botón rojo y ahora la máquina o bien lee 0 y el estado es $(1-P)|\psi_0\rangle$ (lo que no nos dice mucho) o la máquina lee 1 y el estado es $P|\psi_0\rangle \sim |\psi\rangle$ que nos dice todo sobre el sistema.

Puedes pensar en esto como una máquina de preparación de estados para $|\psi\rangle$ que muestra 0 si no tiene éxito y 1 si tiene éxito. El número de componentes utilizados para implementar $U$ y cuántas veces hay que pulsar el gran botón rojo son medidas de la complejidad cuántica del estado $|\psi\rangle$ .

Recomiendo Notas de John Preskill (pdf) para aprender (mucho) más.

Answer 3

Digamos que el sistema está en un estado $|\phi\rangle$ y quieres medir a dicho operador $P=|\psi\rangle\langle\psi|$ es decir, $$ \begin{align} \langle\phi|P|\phi\rangle&=\langle\phi|\psi\rangle\langle\psi|\phi\rangle \\ &=|\langle\phi|\psi\rangle|^2\ . \end{align} $$ Es decir, lo que hay que medir es el solapamiento de los dos estados. Hay diferentes formas de hacerlo, pero la forma "canónica" sería que prepararas $|\psi\rangle$ (además de $|\phi\rangle$ que es la entrada a su esquema de medición) y luego dejar que interfieran. El grado de interferencia que veas (cuando realices el experimento muchas veces) corresponderá exactamente a $$ |\langle\phi|\psi\rangle|^2= \langle\phi|P|\phi\rangle \ . $$ (Más formalmente, en Información Cuántica, existe el concepto de "prueba de intercambio" que permite medir dicho solapamiento).

Answer 4

Dado $|\psi\rangle$ Siempre se puede hacer una máquina que produzca tantas copias de $|\psi\rangle\langle \psi|$ estados puros según sea necesario. Al medir las copias de los estados se estaría midiendo el eigespacio de valor $\lambda = 1$ para su observable

Medición del eigespacio de $\lambda = 0$ es menos sencillo, ya que requiere determinar el subespacio mucho más grande de estados ortogonales a su $|\psi\rangle$

El procedimiento anterior puede realizarse siempre que $|\psi\rangle$ es conocido. El teorema de no clonación te prohibiría construir la máquina anterior si no tienes suficiente información sobre ella, y todo lo que tienes es una instancia física del estado cuántico