Existencia de homomorphisms entre campos finitos

Question

Deje $F$ $E$ ser los campos de la orden de $8$ $32$ respectivamente. La construcción de un anillo de homomorphism $F\to E$ o demostrar que uno no puede existir.

Cualquier elemento $x$ $F$ satisface $x^8=x$ y cualquier elemento distinto de cero $x\in F$ satisface $x^7=1$. Deje $f:F\to E$ ser un homomorphism. A continuación, $1=f(1)=f(x^7)=f(x)^7$ para todos los distinto de cero $x\in F$. También se $0=f(0)=f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=0$ (aquí se $2=1+1\in F$). Ahora, por un lado, $f(2^7)=f(2)^7=1$. Por otro lado, $f(2^7)$ $f$ que se aplica a $2+\dots+2$ ($2^6$ términos), así $f(2^7)=f(2\cdot 2^6)=f(2)+\dots+f(2) \text{ ($2^6$ terms) }=0+\dots+0=0$. Esta es una contradicción.

Es este razonamiento correcto? Hay otras formas de solucionar esto? En general, para lo cual finito campos existe un homomorphism entre ellos?

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Como he señalado en el comentario, el argumento anterior es incorrecto. ¿Cómo resolver el problema, entonces?

Answer 1

Un % del homomorfismo del anillo $F\to E$induce un homomorfismo de grupo $F^\times \to E^\times$. Estos grupos tienen órdenes $7$ y $31$ y así este homomorfismo debe ser el trivial. Por otro lado, un homomorfismo de anillo de un campo es inyectiva.

Answer 2

Aquí es similar a su intento de una prueba directa. Que $x \notin{0,1}$ ser un elemento de $\Bbb F_8$ y % que $f: \Bbb F8 \rightarrow \Bbb F{32}$ser un homomorfismo del anillo (unital). Si $f(x) \neq 0$, tenemos $f(x)^{31} = 1$; por otra parte, $f(x)^7 = f(x^7) =f(1)=1$. Pero desde $\gcd(7,31)=1$ $f(x)=1$. Por lo tanto $f(x-1)=f(x)-f(1)=0$, pero ya elegimos $x-1 \neq 0$, esto significa que el $f$ es el cero mapa (¿por qué?), contradicción. (Si $f(x) =0$, sigue inmediatamente que $f$ es el mapa cero.)

Answer 3

Deje $F$ a ser el campo con sólo dos elementos. Si $F_8$ $F_{32}$ son campos de orden de $8$ $32$ respectivamente, entonces ambos son realizables como extensiones algebraicas de $F.$ Cualquier homomorphism $\phi : F_8 \longrightarrow F_{32}$ debe ser inyectiva, ya que todos los campos son simples. Es decir, si asumimos que $F_8 \subset F_{32},$ por medio de la identificación de $F_8$ $\text{Img}(\phi)$ es decir $F_{32}$ debe ser realizable como una extensión algebraica de $F_8.$, por Lo que obtenemos los siguientes inclusiones $F\subset F_8 \subset F_{32}.$ Desde estas son todas las extensiones finitas, y dado que cada finito extensión de un campo finito es de Galois, entonces el Galois correspondencia nos da correspondientes subgrupos de pedidos $1,$ $3$ y $5$ respectivamente. Desde cualquier grupo de orden $5$ no tiene subgrupos de orden $3$, entonces la existencia de una incrustación $F_8\subset F_{32}$ debe ser imposible.

A la conclusión de que no homomorphism existe.

Answer 4

Puesto que tal homomorfismo $\phi$ sería inyectiva (el kernel es un ideal, y estamos suponiendo $\phi$ no triviales), es en realidad una incrustación, y $\phi (\text{GF}(2^3))\cong \text{GF}(2^3)$ sería un subcampo de $\text{GF}(2^5)$; pero desde $3\not\mid5$, esto es imposible .