Estoy escribiendo una prueba formal para demostrar que si $B$ es la matriz obtiene intercambiando las filas de una $2\times2$ matriz$A$,$\det(B)=-\det(A)$. Mi razonamiento y la prueba está saliendo muy bien, pero me golpeó un bache en el camino que me señaló un hueco en mi conocimiento - que es, supongo que no entienda completamente la definición de multiplicación de matrices. Nota fui el riguroso de la ruta aquí sólo porque quería probarme a mí mismo que comprendía plenamente la multiplicación de la matriz... y yo no. Mi prueba hasta el momento es:
Deje $E$ ser de la escuela primaria de la matriz obtenida mediante la realización de un tipo 1 elementales de fila de operación $I_2$. Por El Teorema 3.1 (Friedberg), $B=EA$. Nota $$\det(A) =\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=ad-bc$$ Por la definición de la multiplicación de la matriz,
\begin{align} & B_{ij}=(EA)_{ij} \\[10pt] = {} & \sum_{k=1}^2 E_{ik}A_{kj} \text{ for } 1\le i\le2\text{, }1\le j\le2 \\[10pt] = {} & E_{i1}A_{1j}+E_{i2}A_{2j}\text{ for } 1\le i\le2\text{, }1\le j\le2 \\[10pt] \vdots\,\,\, \\[10pt] = {} & \begin{pmatrix} c & d \\ a & b \end{pmatrix}_{ij} \end{align}
Si $B=EA=\begin{pmatrix} c & d \\ a & b \\ \end{pmatrix}$, then by the definition of a determinant of a $2\times2$ matriz,
\begin{align} \det(B) & =\det(EA)=bc-ad \\[10pt] & =-(ad-bc) \\[10pt] & =-\det(A) \end{align}
Mi problema es, ¿cómo puedo expresar formalmente los pasos donde puedo poner mi "$\cdots$"? Es decir, la columna y la fila de vectores multiplicación y la suma de los mismos? Tal vez me equivoque, pero creo que la mayoría de las fuentes no explican todos los pasos de la multiplicación de la matriz y sólo recurrir a la mano saludando. La forma en que pienso acerca de ello - la columna y la fila vectores voy a estar multiplicando en mis pruebas son en realidad los $2\times1$ $1\times2$ matrices, respectivamente. Sé que han resultado en un $2\times2$ matriz, pero ¿cómo? Y ¿por qué?
