dos conjugado subgrupos y uno de ellos es un subconjunto de la otra? además, una cubierta de espacio de interpretación.

Question

Recientemente he estado leyendo J. P. de Mayo, Un breve Curso de Topología Algebraica. En la sección sobre la clasificación de cubrir groupoids, menciona que a veces un grupo G puede tener dos conjugado subgrupos H y H' tal que H es correctamente contenida en H' (en las páginas 26-27, de acuerdo a su numeración). Esto parece extraño para mí, y estoy bastante seguro de que he visto un ejemplo antes, pero estoy teniendo problemas para subir con uno ahora.

De todos modos, él sigue diciendo que es posible tener un endomorfismo de un cubriendo groupoid que no es un isomorfismo. Me gustaría venir para arriba con un ejemplo de esto, y estoy bastante seguro de que para mí la obstrucción consiste en no comprender completamente el grupo de la teoría de la instrucción anterior.

(Por supuesto, cuando pienso en una cubierta de groupoids estoy secretamente a pensar acerca de cómo cubrir el espacio, en parte porque esta es su motivación para la introducción de groupoids y en parte porque es más fácil para mí, así que lo ideal, pero no necesariamente el ejemplo podría realmente ser un mapa de cobertura de los espacios a través de la misma base de espacio.)

Answer 1

El Baumslag-Solitar grupo $B(1,2) = \langle a,b | bab^{-1} = a^2 \rangle$ tiene un subgrupo $\langle a \rangle \cong \mathbb{Z}$, que es el conjugado de a $\langle a^2 \rangle$ (en la que, bajo el isomorfismo, es identificado con $2\mathbb{Z}$).

Answer 2

Si hay un grupo G y un inyectiva endomorfismo $\sigma$ de G, existe un grupo de K que contiene a G tal que $\sigma$ se extiende a un interior automorphism de K.

De manera más general, si dos subgrupos de un grupo son isomorfos, el grupo puede estar integrado en un grupo más grande, donde los dos subgrupos se conjugado a través de una conjugación de mapa que se extiende el isomorfismo. La construcción que se utiliza se denomina un HNN-extensión, y, básicamente, colinda con elementos del grupo que actúan mediante la conjugación como el isomorfismo. (Esto se generaliza aún más: dado cualquier número de isomorphisms entre pares de subgrupos de un grupo, no es un grupo que contiene el grupo de manera que todos estos isomorphisms convertido en conjugación en que grupo más grande).

Por lo tanto, para encontrar ejemplos que responder a su pregunta, es suficiente para encontrar ejemplos de un grupo que es isomorfo a un adecuado subgrupo. Por ejemplo, si consideramos el ejemplo del grupo de los enteros isomorfo a un subgrupo de números enteros, la correspondiente HNN-extensión es la Baumslag-Solitar grupo mencionado anteriormente.

Por cierto, la anterior afirmación (que cualquiera de los dos isomorfo subgrupos de un grupo se convierten en conjugar en algún grupo más grande) también es cierto cuando nos restringimos a los grupos finitos, aunque esto no le da ningún ejemplo de la pregunta que usted se interesa en el, porque no finito subgrupo puede ser isomorfo a un adecuado subgrupo.

Ver esto y http://groupprops.subwiki.org/wiki/Isomorphic_iff_potentially_conjugate_in"finito">esta para más detalles sobre estos.

Answer 3

El subgrupo $H=\mathbb Z^\mathbb N$ $G_1=\mathbb Z^\mathbb Z$ es asignado a una adecuada subgrupo de la traducción. Teniendo en cuenta la semidirect producto $G_1\rtimes\mathbb Z$, usted puede hacer la traducción de la $G_1$ interior automorphism.

El primer teorema en la página.26 le dice que si $G=\pi(B,b)$, $H=p(\pi(E,e))$, $H_1=p'(\pi(E',e'))$, el único mapa $g\colon E\to E'$ satisfacción $g(e)=e'$ no es un isomorfismo. Sin embargo, por la primera proposición p.23 hay un $e'_1\in E'$ tal que $p(\pi(E',e'_1))=p(\pi(E,e))$, y el correspondiente $E\to E'$ es un isomorfismo.

Answer 4

Deje $V$ ser un infinito dimensional espacio vectorial, vamos a $T:V\to V\oplus V$ ser un isomorfismo, y deje $G=GL(V\oplus V\oplus V)$. A continuación, $(T^{-1}\oplus T)(I\oplus I\oplus GL(V))(T\oplus T^{-1})=I\oplus GL(V\oplus V)$ da un ejemplo.

Answer 5

Para ampliar sobre una anterior respuesta, voy a plagiar un la respuesta proporcionada por Derek Holt en un sci.matemáticas hilo:

Un "estándar" es un ejemplo de que es el Baumslag-Solitar grupo

G = < x,y | y x y z^-1 = x^2 >

que es isomorfo al grupo multiplicativo generado por el 2x2 racional de las matrices

x = [ 1 1; 0 1 ], y = [ 2 0; 0 1 ],

y N = < x >.

Entonces x N x^-1 = N y y N y^-1 < N, pero a N no es normal en G porque s^-1 N y no está contenido en N.

Final de plagio.

Tal vez usted puede mejorar este ejemplo para su propósito. Gerhard "Me Preguntan Sobre El Diseño Del Sistema" Paseman, 2009.01.15