Quiero calcular $$\lim{n\to \infty }\frac{1}{n}\sum{k=1}^n\left(1+\frac{k}{n^2}\right)^n.$ $ que realmente probado varias cosa, pero este $\frac{1}{n^2}$ me molestan mucho. Parece una suma de Riemann, pero no puedo concluir sin más información.
Respuesta
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Sugerencia
$$\left(1+\frac{k}{n^2}\right)^n=\exp\left{n\ln\left(1+\frac{k}{n^2}\right)\right}.$ $ Uno puede probar $$x-\frac{x^2}{2}\leq \ln(1+x)\leq x.$ $
Por lo tanto, para todos los $k\in{1,...,n}$, $$\frac{k}{n}-\frac{1}{2n}\leq n\ln\left(1+\frac{k}{n^2}\right)\leq \frac{k}{n}.$ $
La afirmación de seguir componiendo y suma de cada lado.
