Siempre me he preguntado si tiene algo que ver con la idea de que la probabilidad de que un número entero es divisible por un primo $p$$1/p$.
Respuesta
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Matt Dawdy
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Aquí es un argumento heurístico. Como usted dice, de forma heurística la probabilidad de que un número entero es divisible por un primo $p$$\frac{1}{p}$, por lo tanto la probabilidad de que no es divisible por $p$$1 - \frac{1}{p}$. Hacer la simplificación de la suposición de que estos eventos son independientes, tenemos que la probabilidad de que un entero $n$ es el primer es la probabilidad de que no es divisible por ninguno de los números primos más pequeños, por lo tanto es
$$\prod_{p < n} \left( 1 - \frac{1}{p} \right).$$
Así que vamos a explicar por qué esto crece como la $\frac{1}{\ln n}$. Bueno, vamos a invertir, conseguir
$$\prod_{p < n} \frac{1}{1 - \frac{1}{p}} = \prod_{p < n} \left( 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \dots \right).$$
La expansión de este produce una suma de términos de la forma $\frac{1}{k}$ donde $k$ rangos de todos los enteros positivos cuya principal divisores son todos menos de $n$. (Esto está estrechamente relacionado con el de Euler producto de la factorización de la de Riemann zeta función.) La mayor parte de esta suma es
$$\sum_{k < n} \frac{1}{k} \sim \ln n$$
por la suma de Riemann argumento, y vamos a ignorar alegremente el resto de la suma (esto se puede hacer un poco más de cuidado, pero eh). Hecho!
