Analogías entre $(\tan, \sec)$ y $(\sinh, \cosh)$

Question

El par de funciones $(\tan, \sec)$ comparte algunas propiedades interesantes con el par $(\sinh, \cosh)$ .

En primer lugar, satisfacen la misma ecuación cuadrática, a saber $$\sec^2 x - \tan^2 x = 1 \qquad \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$$ para cualquier $x$ en los respectivos ámbitos.

Además, $\tan$ y $\sinh$ son ambas funciones impar, mientras que $\sec$ y $\cosh$ son ambas funciones pares.

Ahora, supongamos que definimos una operación binaria $\oplus$ en algún subconjunto de números reales tal que $$\tan (x \oplus y) = \tan x \sec y + \sec x \tan y$$ siempre que $x \oplus y$ está definida. Entonces se puede demostrar que $$\sec(x \oplus y) = \sec x \sec y + \tan x \tan y$$ y estas dos fórmulas son exactamente iguales a las fórmulas de adición de las funciones hiperbólicas. (Para las fórmulas de sustracción basta con dejar que $x \ominus y = x \oplus (-y)$ siempre que se defina).

Hay más: también se puede demostrar que se cumple un análogo de la fórmula de De Moivre, es decir, $$(\sec x + \tan x)^n = \sec (\mathring n x) + \tan (\mathring n x)$$ donde $\mathring n x$ denota $x \oplus x \oplus \dotsb \oplus x$ con $n$ adiciones. Finalmente, si definimos un análogo de la derivada con esta nueva operación dejando que $$\mathring D f(x) = \lim_{h \to 0} \frac {f(x \oplus h) - f(x)} h$$ entonces obtenemos $$\mathring D \tan x = \sec x \qquad \mathring D \sec x = \tan x$$ de forma similar a lo que ocurre con las funciones hiperbólicas.

Mis preguntas son:

¿Existe una forma de precisar esta correspondencia para poder dar una explicación única y sencilla a todas estas analogías (y posiblemente a otras que puedan darse)?

¿Cómo podemos interpretar la operación $\oplus$ ?

Answer 1

Creo que todo se deduce de tu primera ecuación. Dado que el signos de tan, sec van como los signos de sinh, cosh, esta ecuación nos dice que las gráficas paramétricas $$ t\in(-\pi/2,\pi/2) \mapsto(\tan t, \sec t) \qquad \qquad t\in\mathbb R \mapsto (\sinh t, \cosh t) $$ consisten en los mismos puntos en una parametrización diferente (de hecho es la rama superior de una hipérbola).

Así que si definimos $f(x) = \sinh^{-1}(\tan t)$ entonces tenemos $$ \sinh \circ f = \tan \qquad\qquad \cosh \circ f = \sec $$ Es sólo una transformación particular del eje horizontal que hace que las funciones se integren entre sí.

Esto significa que tenemos $x\oplus y = f^{-1}(f(x)+f(y))$ En otras palabras $\oplus$ es sólo una adición ordinaria transferida a través de esta biyección.

Y esto también significa que su $\mathring D$ es simplemente la diferenciación ordinaria transferida a través de la biyección también.

---

El mismo $f$ se convertirá también $\sin$ y $\cos$ en $\tanh$ y $\operatorname{sech}$ para más correspondencias.

Answer 2

Las funciones trigonométricas y las funciones hiperbólicas pueden considerarse casos límite de las funciones elípticas de Jacobi:

\begin {array}{|c|c|c|} \hline & k \to 0 & k \to 1 \\ \hline \operatorname {sn} (z,k) & \sin z & \tanh z \\ \operatorname {cn} (z,k) & \cos z & \operatorname {sech} z \\ \operatorname {nc} (z,k) & \sec z & \cosh z \\ \operatorname {sc} (z,k) & \tan z & \sinh z \\ \operatorname {ns} (z,k) & \csc z & \coth z \\ \operatorname {cs} (z,k) & \cot z & \operatorname {csch} z \\ \hline \end {array}

Answer 3

$$\cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=$$ $$\cosh(iz)$$

por el mismo,

$$\sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=$$ $$-i\sinh(iz)$$

Para encontrar fórmulas hiperbólicas a partir de las trogonométricas, basta con sustituir

$$\cos \text{ by } \cosh$$ y $$\sin \text{ by } -i\sinh$$

Por ejemplo $$1-\cos(x)=2\sin^2(\frac{x}{2})$$ se convierte en

$$1-\cosh(x)=-2\sinh^2(\frac{x}{2})$$