Octagon dentro de un círculo

Question

Un octágono que tiene longitudes de los lados 3, 3, 11, 11, 15, 15, 15 y 15 se inscribe en un círculo. ¿Cuál es el área del octágono?

He intentado utilizar el coseno de la ley en los triángulos, cuando esté conectada con el centro, pero los números se puso muy difícil para usar cuando lo resuelto en el seno de los ángulos, a fin de obtener el área de un triángulo.

Este es un problema de BIMC 2017 individuales de la pregunta 6, donde la respuesta es 567. ;)

Answer 1

La organización de los lados en el orden $3,15,11,15,3,15,11,15$, obtenemos dos se superponen, perpendicular inscrito rectángulos de lados $3×h$ $11×k$ respectivamente, donde $h,k$ están por determinar. El teorema de Pitágoras da $$3^2+h^2=11^2+k^2$$ $$h^2-k^2=112$$ Además, los rectángulos están alineados y tienen en común un centroide. Esto le da $$\left(\frac{h-11}2\right)^2+\left(\frac{k-3}2\right)^2=15^2$$ $$(h-11)^2+(k-3)^2=30^2$$ Esto sugiere inmediatamente encontrar ternas Pitagóricas $(a,b,30)$, de los cuales sólo hay uno: $18^2+24^2=30^2$. Si dejamos $h-11=18$$k-3=24$, podemos ver que la otra ecuación $h^2-k^2=112$ es "milagrosamente" satisfecho.

Por lo tanto $h=29$$k=27$. El octágono del área, entonces se puede calcular fácilmente mediante la adición de los rectángulos' áreas, restando su intersección y la adición de los triángulos " áreas: $$3h+11k-33+2\left(\frac{h-11}2\right)\left(\frac{k-3}2\right)=87+297-33+2\cdot9\cdot12=567$$

Answer 2

Organizar los triángulos, de manera que hay un $15$ en cada uno de los cuadrantes; el $3$ lados son verticales y el $11$ lados son horizontales. A continuación, la distancia entre el $(\sqrt{r^2-9/4},3/2)$ $(11/2,\sqrt{r^2-121/4})$ es de 15.