Supongamos que tenemos un contraejemplo más pequeño. De cualquier manera que lo cortemos de borde a borde horizontalmente entre las filas de triángulos debemos obtener dos mitades que no son $3k$ -iamantes (ya que, de lo contrario, las dos mitades son más pequeñas y se pueden alicatar).
Una sola fila de $3k$ triángulos es trivial de embaldosar, por lo que wlog el contraejemplo debe tener al menos dos filas y el número de triángulos en la primera no debe ser divisible por $3$ .
Si la fila superior tiene $2m$ triángulos, donde $m \neq 0 \pmod{3}$ , wlog es
<-- m -->
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/ \ / \ /
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Entonces la convexidad requiere que el borde derecho continúe hasta el fondo, por lo que tenemos un paralelogramo, posiblemente con un triángulo cortado en la parte inferior izquierda.
¿Cuántas filas de altura tiene el paralelogramo? Ya hemos dicho que debe ser más de una. Si es dos, $4m$ tampoco es divisible por $3$ , por lo que requerimos $4m-1$ sea divisible por $3$ (es decir $m \equiv 1 \pmod{3}$ ) y cortamos el triángulo inferior izquierdo. Pero entonces podemos embaldosar la columna de la izquierda y luego embaldosar a lo largo de las filas:
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/A\A/ \ / \ / \ /
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\A/ \ / \ / \ /
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Si la altura $h$ es más de dos, la arista izquierda puede ser como máximo de dos de largo, porque si no las tres primeras filas son iguales y contradecimos el "contraejemplo menor". Dos subcasos: la arista izquierda es de una longitud, o de dos.
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Un largo: la primera fila es $2m$ el segundo es $2m-1$ el siguiente es $2m-3$ El $i$ esto es $2m-(2i-1)$ para $i > 1$ . Como tenemos más de dos filas, ninguno de los dos $2m$ ni $4m-1$ es divisible por $3$ Así que $m \equiv 2 \pmod{3}$ .
- Triángulos en tres filas: $4m-1 + 2m-3 = 6m - 4$ no es divisible por $3$ , por lo que tenemos más de tres filas
- Triángulos en cuatro filas: $6m-4 + 2m-5 = 8m - 9$ no es divisible por $3$ , por lo que tenemos más de cuatro filas
Y como en tres filas cualesquiera, excluyendo la primera, el número de triángulos es divisible por $3$ (porque $2m-(2i-1) + 2m-(2(i+1)-1) + 2m-(2(i+2)-1) = 6m-6i-3$ ), no hay ninguna altura que dé un $3k$ -Amor.
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El borde izquierdo tiene dos longitudes: la primera fila es $2m$ el segundo es $2m$ el tercero es $2m-1$ el siguiente es $2m-3$ etc.
- Las tres primeras filas contienen $6m-1$ triángulos, que es $2 \pmod 3$
- Las cuatro primeras filas contienen $8m-4$ triángulos; $m=1 \pmod 3 \implies \Delta = 1 \pmod 3$ ; $m=2 \pmod 3 \implies \Delta = 0 \pmod 3$ Así que si $m=2$ entonces $h=4$
- Las cinco primeras filas contienen $10m-9$ triángulos; $m=1 \pmod 3 => \Delta = 1 \pmod 3$
Por un argumento similar al del subcaso anterior, esto significa que no hay $h$ para lo cual $m = 1 \pmod 3$ da una $3k$ -Amor.
Por lo tanto, tenemos $m = 2 \pmod 3$ , $h = 4$ . Podemos embaldosar las dos primeras columnas como se muestra, y luego embaldosar a lo largo de las filas. (Equivalentemente, podemos cortar en dos convexos $3k$ -iamantes, contradiciendo la minimidad).
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/D\A/A\A/ \ / \ / \ /
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/D\D/B\B/ \ / \ / \ /
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\C/C\B/ \ / \ / \ /
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\C/ \ / \ / \ /
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Si la rebanada superior tiene $2m+1$ triángulos, pueden apuntar "hacia abajo" o "hacia arriba":
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\ / \ / \ / \ / vs / \ / \ / \ / \
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En el caso de que apunten "hacia abajo", el convexo $3k$ -El diamante debe ser un triángulo truncado.
Si tiene dos filas, entonces $2m+1 + 2m-1 = 4m$ debe ser divisible por $3$ Así que $m$ es divisible por $3$ . (NB podríamos considerar este caso ya cubierto, ya que hay una arista con un número par de triángulos). Se embalan los dos extremos así y luego se embala a lo largo de las filas.
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\A/A\ / \ / \ / \ / \ /B\B/
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\A/ \ / \ / \ / \ / \B/
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De lo contrario, $2m+1 + 2m-1 + 2m-3 = 6m-3$ es divisible por $3$ , por lo que tiene tres filas. El triángulo de la izquierda puede ser cortado, y el resto alicatado en columnas de 6 diamantes.
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\A/A\A/B\B/ \ / \ / \ /
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\C/C\B/ \ / \ / \ /
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\C/ \ / \ / \ /
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Eso deja el caso en el que apuntan "hacia arriba", y de hecho cada arista debe tener un número impar de triángulos apuntando "hacia arriba" porque de lo contrario uno de los casos cubiertos anteriormente se aplica a una simetría del 3k-iamante.
Como todas las esquinas son $120^\circ$ En el caso de los hexágonos, podemos caracterizarlos por las longitudes de tres aristas consecutivas: $l, m, n$ con el correspondiente número de triángulos $2l+1, 2m+1, 2n+1$ . Ya sabemos que ninguno de ellos es divisible por $3$ (ya que entonces podríamos dividirlo en partes más pequeñas $3k$ -iamantes), por lo que ninguno de $l,m,n$ es $1 \pmod 3$ . Por lo tanto, todos son al menos $2$ y tenemos al menos cuatro filas.
Las dos primeras filas tienen $2m+1 + 2m+3 = 4m+4 \equiv m+1 \pmod 3$ y de manera similar bajo la rotación para poner los otros en la parte superior, por lo que para evitar ser capaz de cortar dos filas ninguno de $l,m,n$ es $2 \pmod 3$ .
Por lo tanto, todos son $0 \pmod 3$ . Entonces las tres primeras filas tienen $2m+1 + 2m+3 + 2m+5 = 6m+9 \equiv 0 \pmod 3$ triángulos y pueden ser cortados, dando una contradicción.
Se han eliminado todos los casos, por lo que no hay ningún contraejemplo más pequeño.
