Prueba de ello la integración de acceso directo: $\int_a^b \frac{dx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}=\pi$

Question

Me encontré con este como uno de los accesos directos en mi libro de texto sin ninguna prueba.
Al $b\gt a$,

$$\int\limits_a^b \dfrac{dx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}=\pi$$

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Mi intento :

Me doy cuenta de que el denominador es $0$ tanto de los límites. Pensé en la sustitución de $x=a+(b-a)t$, de modo que la integral se convierte en $$\int\limits_0^1 \dfrac{dt}{\sqrt{t(1-t)}}$$

Esto no parece simple, pero me pregunto si la respuesta puede ser visto por medio de la simetría/geometría ?

Answer 1

Otra forma es la sustitución de $t=\sin^2\theta$, por lo que $$\int\limits_0^1 \dfrac{dt}{\sqrt{t(1-t)}}=\int\limits_0^\frac{\pi}{2} 2dt=\pi$$

Answer 2

Deje $m = \frac{b+a}{2}$$r = \frac{b-a}{2}$. Considere el círculo

$$ (x - m)^2 + y^2 = r^2. $$

Parte de este lugar con $y \geq 0$ está dado por $y = \sqrt{r^2 - (x-m)^2} = \sqrt{(x-a)(b-x)}$$a \leq x \leq b$. Por la diferencia implícita, esta función satisface $ 2(x - m) dx + 2ydy = 0 $ y por lo tanto

$$ \frac{dy}{dx} = -\frac{x-m}{y}. $$

La longitud de la parte superior del arco circular es

$$ \pi r = \int_{a}^{b} \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx = \int_{a}^{b} \sqrt{\frac{(x-m)^2 + y^2}{y^2}} \, dx = \int_{a}^{b} \frac{r}{\sqrt{(x-a)(b-x)}} \, dx. $$

Dividir ambos lados por $r$ da la respuesta deseada.

Answer 3

Eso se llama Abel Integral ( al menos en mi idioma ). Usted puede escribir que $$ \frac{1}{\sqrt{\left(x-a\right)\left(b-x\right)}}=\frac{2}{a-b}\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{2}{a-b}\left(x-\frac{b+a}{2}\right)\right)^2}}$$

que va en arcsinus

$$\int_{a}^{b}\frac{\text{d}x}{\sqrt{\left(x-a\right)\left(b-x\right)}}=\text{arcsin}\left(\frac{2}{b-a}\frac{b-a}{2}\right)+\text{arcsin}\left(\frac{2}{a-b}\frac{a-b}{2}\right)=2\text{arcsin}\left(1\right)=\pi$$

Answer 4

\begin{align} \tan^2 \theta &= \frac{x-a}{b-x} \\ 2\tan \theta \sec^2 \theta \, d\theta &= \frac{b-a}{(b-x)^2} \, dx \\ 2\sqrt{\frac{x-a}{b-x}} \times \frac{(x-a)+(b-x)}{b-x} \, d\theta &= \frac{b-a}{(b-x)^2} \, dx \\ 2\, d\theta &= \frac{dx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}} \\ \int \frac{dx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}} &= 2\tan^{-1} \sqrt{\frac{x-a}{b-x}} \end{align}

La singularidad en Wolfram Alpha viene desde el límite superior $b$.

Interpretación geométrica

Considerando arco circular $(x,y)=(\sqrt{b-u},\sqrt{u-a})$

\begin{align} ds &= \frac{\sqrt{b-a} \, du}{2\sqrt{(u-a)(b-u)}} \\ \tan \theta &= \sqrt{\frac{u-a}{b-u}} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \sqrt{b-a} \cos \theta \\ \sqrt{b-a} \sin \theta \end{pmatrix} \\ ds &= \sqrt{b-a} \, d\theta \end{align}

Véase también otro integral de aquí.

Answer 5

Me enseñó a usar la sustitución de $x=a \sin^2 \theta+b \cos^2 \theta$