Probar que el polinomio de grado $4$ con bienes raíces que no puede tener de $\pm 1$ como coeficientes (IITJEE)

Question

Así que me estaba pasando a través de mi 11 paquete de clase en las ecuaciones Cuadráticas y vi una pregunta para demostrar que un polinomio de $4$th grado con todas las raíces reales no ha $\pm 1$ ya que todos sus coeficientes.

He intentado probarlo utilizando el cálculo, por lo que muestra que al menos uno consecutivos máximos y mínimos se acuesta encima o por debajo del eje x, pero no se podía resolver mediante que.

También he intentado utilizar la Regla de Descartes de los Signos, pero no podía resolver con eso también. Alguna ayuda?

Answer 1

Deje $f(x)$ ser cualquier polinomio de cuarto grado con coeficientes de $\{ -1, +1 \}$. La sustitución de $f(x)$ $-f(x)$ si es necesario, podemos suponer $f(x)$ es monic. es decir,

$$f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d\quad\text{ with }\quad a,b,c,d \in \{ -1, +1 \}$$

Si $f(x)$ $4$ bienes raíces $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4$, luego por Vieta de la fórmula, tenemos

$$\sum_{i=1}^4 \lambda_i = -a, \sum_{1\le i < j\le 4} \lambda_i\lambda_j = b \quad\text{ y }\quad\prod_{i=1}^4 \lambda_i = d$$ Aviso $$\sum_{i=1}^4 \lambda_i^2 = \left(\sum_{i=1}^4\lambda_i\right)^2 - 2\sum_{1\le i < j \le 4}\lambda_i\lambda_j = a^2 - 2b = 1 -2b$$

Desde $\sum_{i=1}^4 \lambda_i^2 \ge 0$, tenemos $b = -1$. Como resultado, $$\sum_{i=1}^4 \lambda_i^2 = 3$$ Por la AM $\ge$ GM, esto lleva a la

$$\frac34 = \frac14\sum_{i=1}^4 \lambda_i^2 \ge \left(\prod_{i=1}^4 \lambda_i^2\right)^{1/4} = (d^2)^{1/4} = 1$$ Esto es imposible y, por tanto, $f(x)$ no tiene 4 raíces reales.

Answer 2

Se puede suponer WLOG en la que el coeficiente de es $\,+1\,$, lo $\,P(x)=x^4\pm x^3\pm x^2\pm x\pm 1\,$.

• A continuación,$\,P''(x)=12x^2 \pm 6x \pm 2\,$, y para el cuadrática que tiene raíces reales es necesario que el término constante de ser negativa, por lo $\,P(x)=x^4\pm x^3 - x^2\pm x\pm 1\,$.

• $P(x)\,$ tiene todas las raíces reales de iff $\,x^4 P\left(\frac{1}{x}\right)\,$ tiene todas las raíces reales. Por el mismo argumento anterior, el término constante de $\,P(x)\,$ debe tener signo opuesto como el coeficiente de $\,x^2\,$.

Esto deja a $4$ de los casos para comprobar $\,P(x)=x^4\pm x^3 - x^2\pm x+1\,$.

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[ EDITAR ]

• $P(x)\,$ tiene todas las raíces reales de iff $\,P\left(-x\right)\,$ tiene todas las raíces reales, por lo que es suficiente para considerar el caso en que el coeficiente de $\,x^3\,$$+1$.

Esto deja a $2$ de los casos para comprobar $\,P(x)=x^4+ x^3 - x^2\pm x+1\,$.