Este rompecabezas es de un ruso sitio web http://www.arbuz.uz/y hay muchas soluciones, pero la mía utiliza álgebra lineal y es muy ingenuo. Hay un planeta habitado por arbuzoids (watermeloners, para traducir del ruso). Esas criaturas se encuentran en tres colores: rojo, verde y azul. Hay 13 rojo arbuzoids, 15 azules, y el 17 de verde. Cuando dos colores diferentes de arbuzoids cumplir, tanto el cambio en el tercer color. La pregunta es, puede ocurrir que todos ellos asumen el mismo color?
Yo aún no tienen idea de cómo este problema labrado su camino en mi Álgebra Lineal libro, pero me dio una oportunidad. Extrañamente, no me llega el 'Ahaa!' efecto cuando pensaba acerca de este problema, así que me decidí a formalizar.
deje $S$ ser un conjunto tal que:
$\langle 13, 17, 15\rangle \in S $
$\forall r,g,b,a \in \mathbb N ( \langle r,g,b\rangle\in S \to ($ $[(a \leq r \land a\leq g) \to \langle r-a,g-a,b+2a\rangle \in S] \land$ $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\space[(a \leq r \land a\leq b) \to \langle r-a,g+2a,b-a\rangle \in S] \land$ $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\space[(a \leq g \land a\leq b) \to \langle r+2a,g-a,b-a\rangle \in S] \space ))$
Tenemos que demostrar que:
$\exists a \in \mathbb N(\langle a,0,0 \rangle\in S \lor \langle 0,a,0 \rangle\in S \lor \langle 0,0,a \rangle\in S) \tag{I}$
o..
$\not\exists a \in \mathbb N(\langle a,0,0 \rangle\in S \lor \langle 0,a,0 \rangle\in S \lor \langle 0,0,a \rangle\in S) \tag{II}$
No sé cómo es esto en todos los relacionados con el Álgebra Lineal, y yo apenas sé nada acerca de la teoría de conjuntos, así que adiós.
Lo que yo hice
Empecé por el primer elemento en $S$, como se muestra.
En primer lugar empezar con el elemento. recuerde que el orden es de color rojo, verde, azul:$\langle 13,17,15 \rangle \in S \tag{0}$ Eliminar el rojo arbuzoids:$\langle 0,43,2 \rangle \in S \tag{1}$ combinar $1$ verde con $1$ azul: $\langle 2,42,1 \rangle \in S \tag{2}$
Tenga en cuenta que si el azul arbuzoids en $(1)$ se $3$, el problema se habría solucionado.También, Si hubieran sido cualquier múltiplo de 3 inferior o igual a verde, el problema se habría resuelto, ya que se le combine 1 tercio de azul con verde, y luego el rojo y el azul sería igual, luego se combinan, y obtener todos los verdes.
De todos modos,el azul arbuzoids no fueron 3. Hice muchas error pasos, observando un par de cosas, y yo no podía conseguir cualquier cosa. Me he decidido a escribir algo de código para probar(me.e la fuerza bruta de las combinaciones y encontrar) si es posible, a partir de (2), pero no pudo llegar a nada.
Se puede demostrar $(I)$ o $(II)$?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
El problema se puede expresar de la siguiente manera:
Encuentra$a, b, c \in \mathbb N$ tal que$$\begin{pmatrix} 13 \\ 17 \\ 15\end{pmatrix} + a\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \in \left \{ \begin{pmatrix} 45 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 45 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 45 \end{pmatrix} \right \}$ $
Esto equivale a resolver tres sistemas lineales.
Por ejemplo, el primero viene dado por:$$\begin{pmatrix} 13 \\ 17 \\ 15\end{pmatrix} + a\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 45 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ $ y puede reescribirse como$$\begin{cases} 2 a - b - c = 32 \\ -a + 2b - c = -17 \\ -a - b + 2 c = -15 \end{cases}$ $ Resolviendo para$a, b, c$ obtenemos$$a = n, \qquad b = n - \frac {49} 3, \qquad c = n - \frac {47} 3$ $ donde$n$ es un parámetro. Como$a, b, c$ debe ser enteros positivos, no hay solución.
Tomar la diferencia entre dos colores. Por ejemplo,$G-R=17-13=4$.
Ahora considera que cualquier cambio de color afectan a esta diferencia. Es invariable, si el rojo+verde convertirse blues, aumentará el $3$ si azul+rojo se vuelven verdes, y disminuirá por $3$ si azul+verde se vuelven rojos.
La diferencia en sí no es un múltiplo de a $3$, por lo que nunca puede ser cero por estos cambios de color. Lo mismo es cierto para cualquier par de colores, por lo que no es posible que ninguno de los dos colores para convertirse en equinumerous, y mucho menos para tanto para convertirse en cero.
El punto es que podemos considerar que el módulo $M := \mathbb Z^3$. En ella, tenemos el submódulo
$$ N := \langle (-1, -1, 2), (-1, 2, -1), (2, -1, -1) \rangle $$
y el resto de la clase
$$ (13,15,17) + N; $$
queremos comprobar si es o no $0$ está en que el residuo de la clase; esto es debido a que podemos deshacer los cambios de color:
$$ (a,b,c) \a (a+2,b-1,c-1) \a (a+1,b-2,c+1) \a (a,b,c), $$
de modo que $N$ puede suponer un submódulo, ya que es cerrado bajo (aditivo) de la inversión. Por lo tanto, el problema implica una solución de
$$ (13,15,17) = (2x - y - z, 2y - x - z, 2z - x - y) $$
en números enteros $x, y, z$. Pero una ingeniosa serie de inserciones conduce a la ecuación $$ 3(x-y) = 43, $$ lo que es no tener solución en los enteros debido a $43$ no es divisible por $3$.
Otra forma de resolverlo: supongamos que se necesita 8 horas para alimentar a una red arbuzoid, 16 por una azul, y 24 para una verde. ¿Cómo será la cantidad total de tiempo que se necesita para alimentar a todos los arbuzoids ser afectados por ellos de cambiar los colores? Si una de color rojo y azul se encuentran, entonces el total disminuye en un 8 por perder una roja y 16 de la pérdida de azul, pero aumenta 48 para conseguir dos verdes. El resultado neto es un aumento de 24 horas. Para el rojo y el verde, el neto es de 16*2-8-24 = 0. Para una azul y verde, es 8*2-16-24 = -24. Así que cada vez que dos arbuzoids cumplir, el tiempo total de cambios por un número entero de días. Pero si se suma el tiempo para el número actual de arbuzoids, es de 31 días y ocho horas. Si usted comienza con un no-número entero de días, y cambiarlo por un número entero de días, entonces termina con un no-número entero de días. Pero ya hay 45 arbuzoids, a tener de ser todo rojo le dan 15 días, a un número entero. Todos los azules sería de 30, y todos los verdes serían 45.
Es decir, vamos a empezar con un sin número entero de días, estamos tratando de llegar a un número entero de días, pero no hay manera de cambiar el total por un número fraccionario de días.
Puesto en términos matemáticos, si r = 1, b = 2 y g = 0, entonces:
$r+b-2g\equiv r+g-2b\equiv b+g-2r\equiv0mod3$
Así que ninguna de estas reuniones cambiar el total, mod 3. Pero:
$13r+15b+17g\equiv1mod3$
$45r \equiv 45b \equiv 45g \equiv 0 mod3$
Así que para llegar desde la situación de partida para todos de un mismo color, el total, mod 3, debe cambiar.
