Deseo evaluar la integral $$I=\int^{\infty}_{-\infty}xe^{-x^2}dx$$
Puedo simplemente señalar que ese $f(x)=xe^{-x^2}$ es una función impar y digamos $I=0$ ? La única razón por la que tengo dudas es por suponer que los dos infinitos tienen la misma longitud. Sin embargo, cuando escucho a la gente decir: "...la integral de una función impar desaparece en $\mathbb{R}$ me tienta a aceptar el argumento de la simetría.
La respuesta real a través de los límites es $0$ .
Si una función es impar y desaparece en los límites, ¿hay algún caso en el que no se pueda saltar instantáneamente a decir que su integral -inf a inf es 0?
@iammax Claro, toma cualquier función no integrable y la refleja. Por ejemplo, $\frac{sgn(x)}{|x|+1}$
¿Estamos utilizando la integración de Lebesgue o de Riemann? Porque con Riemann no tenemos $\int_{-\infty}^{+\infty}x \mathrm dx = \lim_{b \to \infty} \int_{-b}^{b} x \mathrm dx = 0$ ?
Hay que tener cuidado con lo que $$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,\mathrm{d}x \tag{1}$$ significa. La forma más natural de definirlo es como un límite doble; dejemos $F(a,b)\colon\mathbb R^2\to\mathbb R$ definirse como $$F(a,b) = \int_a^bf(x)\,\mathrm d x$$ y luego definir $(1)$ para ser $$\lim_{(a,b)\to(-\infty,\infty)}F(a,b). \tag{2}$$
La existencia del doble límite es bastante fuerte, significa que se puede tomar cualquier camino parametrizado $(a(t),b(t))$ en $\mathbb R^2$ tal que $a(t)\to -\infty$ y $b(t)\to\infty$ cuando $t\to\infty$ y tendrás $$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{t\to\infty}\int_{a(t)}^{b(t)} f(x)\,\mathrm{d}x.$$
En particular, tome $a(t) = t$ y $b(t) = -t$ para conseguir $$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{t\to\infty}\int_{-t}^{t} f(x)\,\mathrm{d}x. \tag{3}$$
Puede utilizar el argumento de la simetría en $(3)$ para conseguir lo que quieres.
El RHS de $(3)$ es lo que se llama el Valor principal de Cauchy . Sin embargo, la existencia del valor principal de Cauchy no implica la existencia del límite en $(2)$ , $\int_{-\infty}^\infty x\,\mathrm d x$ siendo el principal contraejemplo de este tipo.
¿Será correcto afirmar $a(t) = -t$ y $b(t) = t$ y que $t \rightarrow \infty$ o $a(t) = t$ y $b(t) = -t$ y que $t \rightarrow -\infty$ ?
@BAYMAX, bueno, $x\mapsto -x$ es un homeomorfismo por lo que no importa realmente, es una sustitución muy común cuando se trata de límites. Pero como he dicho, la existencia del doble límite implica que el límite es independiente del camino, se podría utilizar $(a(t),b(t)) = (-t,t^2)$ o incluso $(-1/t,1/t)$ y que $t\to 0^+$ .
Desde $$ \int_{-\infty}^\infty\left|\,xe^{-x^2}\right|\,\mathrm{d}x=1 $$ tenemos que $xe^{-x^2}\in L^1$ . Por lo tanto, es válido utilizar la simetría.
Si la función no está en $L^1$ como por ejemplo $\int_{-\infty}^\infty\frac{x\,\mathrm{d}x}{x^2+1}$ Se suele decir que el Valor principal de Cauchy de la integral es $0$ por simetría.
¿Qué significa decir $|xe^{-x^2}| \in L^{1}$ ? Lo sé. $L^p$ son espacios de Banach, pero no sé qué significa decir que una función es un elemento de un $L^p$ espacio.
Una función $f$ está en un $L^p$ espacio en $E$ cuando $$\int_E|f(x)|^p\,\mathrm{d}x\lt\infty$$
Bueno, el contraejemplo primordial es $\int_{-\infty}^\infty \frac1x$ donde el valor de la integral depende de la camino tomada en 0. Si se cruza infinitesimalmente "por debajo" del polo se obtiene un signo diferente al de cruzar infinitesimalmente "por encima".
Básicamente, las funciones analíticas permiten tomar cualquier camino a través del plano complejo con iguales resultados siempre que los diferentes caminos no pasen por polos simples en diferentes lados: cualquier integral de camino circular para funciones analíticas es cero a menos que encierre tales puntos.
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Creo que puedes, si $\exists J=\int_{0}^{\infty} x e^{-x^2}$ y $J < \infty$ .
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Primero debes separar la integral en 2 integrales con un solo punto singular/problemático en cada una (por ejemplo, separar a $[-\infty,0]$ y $[0,\infty]$ ). Si cada uno converge, entonces tu afirmación de que el integrando es impar es suficiente para decir que la respuesta es 0