¿Una función continua, no diferenciable en ninguna parte pero invertible?

Question

Conozco algunos ejemplos de funciones continuas no diferenciables en ninguna parte. La más famosa es quizás la función de Weierstrass

$$W(t)=\sum_k^{\infty} a^k\cos\left(b^k t\right)$$

pero hay otros ejemplos, como las funciones de van der Waerden, o las funciones de Faber. La mayoría de estas "parecen" alguna variación de:

(Funciones Weierstrass de Wolfram)

En concreto, es evidente que no son invertibles. Dado que estas funciones son generalmente autosimilares a muchas escalas, esta no invertibilidad parece mantenerse esencialmente en todas partes.

Me pregunto si es posible construir una función de este tipo que sea invertible . Intuitivamente, tal vez esto sería "nervioso" de la misma manera que la función de Weierstrass, pero si tuviera una pendiente que siempre aumentara, sería invertible. O quizás haya al menos un ejemplo en el que la función sea invertible en algún segmento del rango.

Answer 1

Curiosamente, ¡no hay ningún ejemplo de este tipo! Para una función continua $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ para ser invertible, debe ser monótona creciente o decreciente. Un famoso resultado clásico en el análisis, Teorema de la función monótona de Lebesgue, afirma que toda función monótona sobre un intervalo abierto es diferenciable en casi todas partes. Por lo tanto, no hay funciones continuas que sean invertibles y no diferenciables en ninguna parte.

Answer 2

¡Invertible implica biyectivo por teoría de conjuntos, y biyectivo junto con continuidad implica estrictamente creciente o decreciente, lo que implica diferenciabilidad en casi todas partes! (Esto se conoce como el teorema de la función monótona de Lebesgue).

Answer 3

Si $f:(a,b)\to\Bbb R$ es continua e inyectiva debe ser monótona, por lo tanto diferenciable en casi todas partes.

Answer 4

Asumiré por invertible quieres decir inyectiva, es decir, biyectiva sobre su imagen. Como otros han mencionado, no hay ejemplos de este tipo entre las funciones de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ .

Sin embargo, se pueden encontrar ejemplos de este tipo en otros espacios topológicos.

Un ejemplo $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$ viene dada por $g(t) = (W(t), t)$ con $W$ la función de Weierstrass; es evidentemente inyectiva y continua pero no diferenciable en ninguna parte, considerando su proyección a la primera coordenada.

También puede construir un ejemplo a partir de $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ considerando $g(t_1, t_2) = (t_1, W(t_1) + t_2)$ o su inversa, dada por $g^{-1}(x_1, x_2) = (x_1, x_2 - W(x_1))$ .

Una inyección $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ no puede ser continua así que no encontrarás un contraejemplo allí.