Recuperar un personaje de una clase de cohomología

Question

Deje $G$ ser un grupo finito, y considerar la posibilidad de $\mathbf Z, \mathbf Q$ $\mathbf Q/\mathbf Z$ tan trivial $G$-módulos. A continuación,$H^1(G, \mathbf Q/\mathbf Z) = {\rm Hom}(G, \mathbf Q/\mathbf Z) = \widehat{G}$. Por otra parte, para un grupo finito, tenemos $H^i(G, \mathbf Q)=0$$i>0$. El largo de la secuencia exacta de cohomology procedentes de $\mathbf Z \to \mathbf Q \to \mathbf Q/\mathbf Z$ por lo tanto induce un isomorfismo $$\widehat{G} = H^2(G, \mathbf Z).$$

El grupo $H^2(G, \mathbf Z)$ es en bijection con el centro de extensiones de $G$$\mathbf Z$. Con esto, podemos describir el mapa de $\epsilon: \widehat{G} \to H^2(G, \mathbf Z)$ darse cuenta de las anteriores isomorfismo: es decir, dado un carácter $\chi : G \to \mathbf Q/\mathbf Z$, podemos pull-back a la secuencia de $\mathbf Z \to \mathbf Q \to \mathbf Q/\mathbf Z$ a lo largo de $\chi$ para obtener una secuencia $\mathbf Z \to E \to G$, que es una extensión central de $G$$\mathbf Z$.

Por supuesto, el mapa de $\epsilon$ existe incluso cuando el $G$ no es finito, pero al $G$ es finito, $\epsilon$ es un isomorfismo. Me pregunto si hay una manera sencilla de describir la inversa de a $\epsilon$ en el caso de que $G$ es finito. Es decir, dado un central de extensión de la $\mathbf Z \to E \to G$, ¿cómo se puede construir el carácter correspondiente de $G$?

Answer 1

$\require{AMScd}\def\ZZ{\mathbb Z}\def\Tor{\operatorname{Tor}}\def\QQ{\mathbb Q}$ Deje $0\to\ZZ\to E\to G\to0$ ser una extensión central, deje $t$ ser un generador de el kernel de $E\to G$, y deje $\xi=t-1\in\ZZ E$. A continuación, $\xi$ es un central no zerodivisor de $\ZZ E$. En particular, tenemos una secuencia exacta $$0\to\ZZ E\xrightarrow{\xi} \ZZ E\to\ZZ G\to 0$$ which is a projective resolution of $\ZZ G$ as a left or right $\ZZ E$-module. Using it to compute, we immediately find that $$\Tor^{\ZZ E}_1(\ZZ G,\ZZ)\cong\ZZ.$$

Ahora vamos a $\epsilon:\ZZ E\to\ZZ$ será el habitual aumento, $I$ su núcleo y considerar la breve secuencia exacta $0\to I\to \ZZ E\to\ZZ\to 0$ de izquierda $\ZZ E$-módulos. El largo de la secuencia exacta que resulta de aplicar el functor $\ZZ G\otimes_{\ZZ E}(\mathord-)$ a que nos da la secuencia exacta $$0\to\Tor^{\ZZ E}_1(\ZZ G,\ZZ)\to\ZZ G\otimes_{\ZZ E}I\to\ZZ G\otimes_{\ZZ G}\ZZ e\ZZ G\otimes_{\ZZ G}\ZZ\to 0$$ which is, up to standard isomorphisms and the isomorphism we found above the same as $$0\to\ZZ\to I/\xi I\to \ZZ G\to \ZZ\to0$$ The map $\ZZ G\a\ZZ$ appearing here is the augmentation of $\ZZ G$, whose kernel is the usual augmentation ideal $J\subseteq\ZZ G$, so this exact sequence gives us a short exact sequence $$0\to\ZZ\to I/\xi I\to J\to0$$ Now there is a projective presentation of $J$ as a left $\ZZ G$-module of the form $$\ZZ G\otimes \ZZ G\otimes\ZZ G\xrightarrow{f_1}\ZZ G\otimes \ZZ G\xrightarrow{f_0} J\to 0$$ with $f_0(g_1\otimes g_2)=g_1(g_2-1)$ and $f_1(g_1\otimes g_2\otimes g_3)=g_1g_2\otimes g_3-g_1\otimes g_2g_3+g_1\otimes g_2$, and $\ZZ G$ acting on $\ZZ G\otimes\ZZ G\otimes\ZZ G$ and on $\ZZ G\otimes\ZZ G$ «only on the first factor.» The usual properties of projective resolutions implies that there are vertical arrows of $\ZZ G$-módulos que hacen que el siguiente diagrama conmuta: $$\begin{CD} \ZZ G\otimes \ZZ G\otimes\ZZ G @>{f_1}>> \ZZ G\otimes \ZZ G @>{f_0}>> J @>>> 0 \\ @VVV @VVV @VVV \\ \ZZ @>>> I/\xi I @>>> J @>>> 0 \end{CD}$$ No deje $\ZZ\to\QQ$ ser la inclusión. Podemos completar el diagrama de arriba con un $\ZZ G$-módulo de $X$ construido de modo que el cuadrado inferior izquierdo es un pushout: $$\begin{CD} \ZZ G\otimes \ZZ G\otimes\ZZ G @>{f_1}>> \ZZ G\otimes \ZZ G @>{f_0}>> J @>>> 0 \\ @VVV @VVV @VVV \\ \ZZ @>>> I/\xi I @>>> J @>>> 0 \\ @VVV @VVV @VVV \\ \QQ @>>> X @>>> J @>>> 0 \end{CD}$$ La composición va de $\ZZ G\otimes \ZZ G\otimes\ZZ G$ $\QQ$en este diagrama es una cocycle en la barra complejo para $G$, por lo que es un coboundary, como $H^2(G,\QQ)=0$. Esto significa que factores como la composición del mapa de $f_1$ y algunas mapa de $\ZZ G$-módulos de $\phi:\ZZ G\otimes\ZZ G\to\QQ$. Yo afirmación de que la función de $\psi:G\to \QQ/\ZZ$ tal que $$\psi(g)=\phi(1\otimes g)+\ZZ$$ es un grupo homomorphism, y es el mapa que quieras.