Si $M$ es una variedad y $\dim M\geq n-2$, ¿es $\mathbb{R}^n\setminus M$ nunca conectado y simplemente conexo?

Question

Supongamos que $M$ es una subvariedad suave de $\mathbb{R}^n$. A través de algunos trucos de transversalidad, pude demostrar que si $\dim M

Esto me motiva a preguntar si es cierto que si $\dim M\geq n-2$, entonces $\mathbb{R}^n\setminus M$ no está conectado y simplemente conectado. Incluso mirando algunos casos pequeños, si $\dim M=0$, digamos que $M$ es un número finito de puntos, entonces aunque $\mathbb{R}^2\setminus M$ está conectado, no es simplemente conectado ya que se retrae hacia una unión de círculos. Me dijeron que esto se sigue de la teoría de intersección mod-$2$, pero no veo cómo aplicarlo aquí.

Answer 1

En primer lugar: 1-conectado = conectado y grupo fundamental trivial, por lo que "conectado y 1-conectado" es redundante.

Ahora, si la codimensión es 1, entonces se cumple la siguiente afirmación: $M^{n-1} \subset N^n$ subvariedades ambas cerradas y orientadas, entonces $M$ es separador (es decir, el complemento no está conectado) si y solo si $i_*([M]) = 0 \in H_{n-1}(N)$. Para demostrar esto, básicamente se utiliza la teoría de intersección $mod2$ diciendo que si se puede encontrar un bucle en $N$ que interseca $M$ exactamente un número impar de veces, entonces $M$ no es nulomalógico en el sentido anterior. (Nota que si $M$ es no separador siempre se puede encontrar un bucle que interseca $M$ exactamente una vez, ya que el fibrado normal es trivial).

Aplicándolo al espacio contractible $\mathbb R^n$ y como la homología es un funtor de homotopía, $M$ es nulomalógico ahí. De ahí el resultado.

Ahora, para la codimensión 2 un argumento similar muestra que no es 1-conectado. Sin embargo, el complemento es 0-conectado, ya que por ejemplo el fibrado normal de dimensión 2 menos la sección cero, o mediante otro argumento también se puede usar la transversalidad para trayectorias y $n-2+1 \neq n$.

Answer 2

En la codimensión 1, supongamos que $\mathbb R^n\setminus M$ fuera conexo por caminos. Luego, asumiendo que la incrustación es lo suficientemente buena, puedes encontrar un lazo $\gamma$ que interseca a $M$ en un solo punto. Básicamente, comienzas en un lado de la variedad y te abres camino alrededor hasta el otro lado, ya que el complemento está conectado. Sin embargo, al considerar a $M$ y $\gamma$ como representando clases de homología modulo 2, el número de intersección debe ser cero, ya que ambos representan la clase trivial. Esto es una contradicción.

También se puede usar la Dualidad de Alexander para demostrar esto, lo cual también te dirá cómo resolver el caso de codimensión 2: la primera cohomología del complemento es la homología de mayor dimensión de $M$.