¿Hacer $IJ$ $I\cap J$ coinciden si $I$ y $J$ son coprimos? ¿También si anillo $R$ tiene un $1$ y no es conmutativa?

Question

Deje $R$ ser un anillo (con identidad) y deje $I,J$ dos coprime (de dos caras) ideales en ella.

En Álgebra: Capítulo $0$, Aluffi, III. ejercicio 4.5.

el lector se pregunta a probar que:

$$IJ=I\cap J$$

Tengo la siguiente prueba para $IJ+JI=I\cap J$:

Es evidente que $IJ+JI\subset I\cap J$, y si $i+j=1$ $i\in I$ $j\in J$ $a\in I\cap J$ tenemos: $a=ia+ja\in IJ+JI$.

Así que estaría listo si $R$ es conmutativa, sino que es no uno de los de datos.

Me pueden ayudar con una prueba o contraejemplo?

Gracias de antemano y lo siento si esto es un duplicado.

Answer 1

He tenido una mirada sobre este donde se exponen los errores en el libro mencionado en la pregunta. El anillo debe ser conmutativa después de todo. En ese caso $$IJ+JI=IJ$ $ para que mi prueba es completo.

No estoy realmente interesado en un contraejemplo a la hora de anillos que no son conmutativos.