Sé que es el número máximo de regiones que pueden cortar por la línea en plano $$\frac {(n^2+n+2)}{2}$$ and the max number that can be formed by circles in plane are $(n^2-n+2) $. However if there any way to determine the maximum number of regions that could be found by $$ circles and $ líneas de #% a $ lines? Just tried and played around with those two formulas but I think the general formulas (if it exist) for $b$ $ circles and $b no son muy útiles en este caso. ¡Agradecería sugerencias!
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Rohan Shinde
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Aquí $a$ denotar el número de círculos mientras $b$ indica el número de líneas. Yo no he llegado a una perfecta forma cerrada todavía. Pero señaló algunas de mis observaciones. Pero estas observaciones se hacen manualmente y no por el ordenador o software. Así, algunos de ellos también podría estar equivocado.
He visto algunas series pasando a través de ellos, así que pensé que estos podría ser de alguna ayuda. Yo no soy tan experto en ese tipo de preguntas. Supongo que la experiencia aquí en la MSE puede ayudar.
Para los números enteros $a\ge0$ $b\ge1,$ creo que el máximo número de regiones que se pueden formar en el avión por $a$ círculos y $b$ líneas está dado por la fórmula $$2\binom a2+2ab+\binom b2+b+1.\tag1$$
La fórmula se obtiene suponiendo una configuración de cirles y líneas que maximiza el número de intersecciones, es decir, cada par de líneas se reúne en un punto, cada par de círculos se reúne en dos puntos, cada línea se reúne cada círculo en dos puntos, y ninguna de estas intersecciones coinciden. Una configuración claramente existe; parece intuitivamente obvio que maximiza el número de regiones, pero no tengo prueba de ello.
Permítanme añadir a la imagen de un círculo exterior $C$, lo suficientemente grande que el $a$ original círculos, y el $\binom b2$ puntos donde dos líneas se cruzan, se encuentran dentro de él, y me deja borrar todas las líneas fuera de $C,$ haciendo el exterior de $C$ uno de los grandes de la región. En los poliedros de Euler fórmula $F=E-V+2,\ $ $F$ es el número total de regiones, incluyendo la unbounded exterior de la región. Las regiones que desee contar son las regiones delimitadas, es decir, queremos una fórmula para $$F-1=E-V+1$$ en términos de $a$ $b.$
Es fácil ver que $$V=2\binom a2+2ab+\binom b2+2b;\tag2$$ el $2b$ término cuenta los puntos donde la $b$ líneas de cumplir con $C.$
El recuento de los bordes es un poco más complicado. Cada círculo interior se divide (por los puntos de intersección) en $2(a-1)+2b$ el círculo interior de los arcos, a condición de $a\ne0;$ por lo que el número total de círculo interior de los arcos es $a[2(a-1)+2b]=4\binom a2+2ab$ incluso si $a=0.$ Asimismo, cada línea se divide en $1+2a+(b-1)$ segmentos, por lo que el número de segmentos de línea es $b[2a+(b-1)+1]=2ab+2\binom b2+b.$ Finalmente, el círculo exterior $C$ se reparte en $2b$ el círculo externo de los arcos. La adición de estos, tenemos $$E=\left[4\binom a2+2ab\right]+\left[2ab+2\binom b2+b\right]+2b,$$ es decir, $$E=4\binom a2+4ab+2\binom b2+3b.\tag3$$ Conectar $(2)$ $(3)$ a $E-V+1,$ obtenemos $(1).$
