Mostrar que un conjunto está completo en$L^2[0, \, \pi/2]$

Question

Estoy tratando de demostrar que el conjunto de $S = \{ \sin((2n - 1)x)\}$ $n = 1, 2, \dots $ forma un sistema completo para el espacio de Hilbert $L^2[0, \, \pi/2]$. En otras palabras, se tiene que demostrar que si $f \in L^2[0, \, \pi/2]$ satisface $$\langle f , \, \sin((2n - 1)x) \rangle = \int_0^{\pi/2} f(x) \sin((2n - 1)x) = 0$$ for all $ n \in \mathbb{N}$, then $f = 0 $.

Una idea que he escuchado es la de utilizar el hecho de que $\{e^{i n x}\}_{n \in \mathbb{Z}} $ es un sistema completo para $L^2[-\pi, \, \pi]$. Creo que la idea es extender la función de $f$ para el intervalo de $[-\pi, \, \pi]$, de alguna manera, y el uso de la integridad del conjunto $\{e^{i n x}\}$.

No estoy del todo seguro de los detalles, sin embargo. Así que supongo que mi pregunta es, ¿cómo podemos usar la integridad de $\{e^{i n x}\}_{n \in \mathbb{Z}} $ $[-\pi, \, \pi]$ a mostrar la integridad de la $\{\sin((2n - 1)x)\}_{n \in \mathbb{N}}$$[0, \, \pi/2]$? Específicamente, ¿por qué es sólo la extraña valores positivos de $n$ que se queda cuando se va de$[-\pi, \, \pi]$$[0, \, \pi/2]$?

También, por curiosidad, hay un camino "fácil" para hacer esta pregunta a partir de cero (es decir, sin basarse en el hecho de que $\{e^{i n x}\}_{n \in \mathbb{Z}} $ es un sistema completo)?

Answer 1

Creo que no es tan trivial para ir de la integridad de las exponenciales $e^{inx}$ $[0,2\pi]$ a la integridad de la (renormalizing para comparar) $\sin(nx/2)$$[0,2\pi]$. Hay tanto funciones propias de $d^2/dx^2$, pero con diferentes condiciones de contorno: los senos se desvanecen en los extremos, mientras que el exponenciales han de acordar los valores y los valores de las derivadas en los extremos.

De modo bastante sencillo enfoque es determinar todas las funciones propias para el segundo operador de la derivada que cumplir con los respectivos (simétrico!) las condiciones de contorno.

Answer 2

Vamos a empezar con el hecho de que $1,\sin x,\cos x,\sin 2x,\cos 2x,\dots$ es una base ortogonal en $L^2[-\pi,\pi].$

Es fácil ver que $L^2[-\pi,\pi]$ tiene una suma ortogonal descomposicion $V_{odd}\oplus V_{even}$ $\{\sin kx\mid k\in\mathbb N\},\ \{\cos kx\mid k\in\mathbb N\cup\{0\}\}$ son orhogonal bases en $V_{odd}$ $V_{even}$ respectivamente.

Deje $f\in L^2[0,\pi]$ ser arbitraria y deje $\widetilde f\in L^2[-\pi,\pi]$ ser la excepción, función que continúa $f.$ $\widetilde f=\sum_k c_k\sin kx$ $L^2[-\pi,\pi].$ Desde $\int_{0}^{\pi}|g|^2dx\leq \int_{-\pi}^{\pi}|g|^2dx$ $g\in L^2[-\pi,\pi]$ también contamos $f=\sum_k c_k\sin kx$ $L^2[0,\pi].$ muestra que $\{\sin nx,\ n\in\mathbb N\}$ es una base ortogonal en $L^2[0,\pi].$

De la misma manera tenemos una suma ortogonal descomposicion $L^2[0,\pi]=F_{odd}\oplus F_{even}$ donde $$ F_{impar}=\{f\mid f(x)=-f(\pi-x)\},\ F_{par}=\{f\mid f(x)=f(\pi-x)\}. $$ (Tenga en cuenta que $F_{odd}\perp F_{even}$ $f(x)=\frac{f(x)-f(\pi-x)}2+\frac{f(x)+f(\pi-x)}2$ por cada $f\in L^2[0,\pi]$.) Además, hemos $$\sin k(\pi-x)=(-1)^{k+1}\sin kx,\ k=1,2,\dots.$$ Hence $\{\el pecado kx\mediados de k\ \mbox{par}\},\ \{\sen kx\mediados de k\ \mbox{impar}\}$ are orhogonal bases in $F_{impar}$ and $F_{par}$ respectively. Since every function $g\en L^2[0,\pi/2]$ can be continued to a function $g_1\F_{incluso},$ we have $$g=\sum_{k\ \mbox{odd}} c_k\sin kx,\ \mbox{in}\ L^2[0,\pi/2].$$