Existencia de un subgrupo normal en un grupo finito.

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo finito. Si un Sylow $p$ -subgrupo $P$ de $G$ está contenido en el centro, entonces ¿existe un subgrupo normal $N$ de $G$ , de tal manera que $P \cap N = \{e\}$ y $PN=G$ ?

Gracias de antemano.

Answer 1

La respuesta es sí, por Schur--Zassenhaus. La cuestión es que $P$ es un $p$ -Sylow de $G$ que también es central en $G$ y, por tanto, es normal en $G$ , mientras que $G/P$ es de orden coprimo en $G$ (porque $P$ es un $p$ -Sylow).

(Como señaló Mikko Korhonen en los comentarios, el Teorema de transferencia de Burnside se puede utilizar en su lugar).