¿Qué ángulos internos puede tener un polígono reticular?

Question

¿Me pregunto si para un polígono de enrejado un ángulo interno puede tomar cualquier valor? ¿Si no cuáles no y por qué?

Supongo que habrá algunas restricciones debido a la naturaleza discreta de la rejilla pero estoy teniendo dificultades para determinar cómo utilizar esta información.

¿Puede alguien proporcionar un teorema y una prueba?

¡Gracias!

Answer 1

Cualquier triángulo con vértices en celosía puntos tangentes de los ángulos expresados por números racionales. Para hacer esto, aviso que puede dividir los ángulos de los triángulos en dos o más ángulos que pueden ser expresados en triángulos rectángulos usando sólo la definición, y esto trae racional de las tangentes de los ángulos pequeños. A continuación, utilizando la fórmula $$ \tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$$ verá que la tangente de la suma es también racional. Por lo tanto, de las tangentes de los ángulos de celosía polígonos son números racionales.

[editar] Ok. Me olvidé de que el derecho ángulos tienen la tangente $\infty$, por lo que si los ángulos de un polígono puede ser ángulos que tienen racional tangentes y los ángulos rectos.

Aquí es una prueba de la mina que podemos dibujar cualquier ángulo con rational tangentes uso de celosía puntos. Mi prueba establece que cualquier triángulo con rational tangentes pueden ser incorporados en la red de puntos después de una cierta dilatación.

Deje $\tan A=\frac{a}{b}=\frac{abcd}{b^2cd},\ \tan B=\frac{c}{d}=\frac{abcd}{abd^2},\ a,b,c,d \in \mathbb{Z}^*,\ (a,b)=(c,d)=1$. Considere el sistema de coordenadas ortogonales $xOy$ con origen $D$, $Ox$ ser el soporte del segmento $[DE]$ y puntos de $E(b^2cd+abd^2,0),\ F(b^2cd,abcd)$. A partir de la construcción de la $DEF$ es similar a $ABC$ porque $\tan A=\tan D,\ \tan B=\tan E$.