Es

Question

Si $(x_n)$ es una secuencia tal que $0\leq x_n\leq C$ algunos $C>0$, podemos concluir que $$ \liminf x_n^2\geq (\liminf x_n)^2 ? $$ Si es así, ¿por qué?

EDITAR:

Yo creo que puede haber encontrado una prueba. Deje $a = \liminf x_n$. Todo lo que tenemos que demostrar es que para cualquier $\epsilon >0$, $x_n^2>a^2-\epsilon$ finalmente. Para ese fin, vamos a $\epsilon >0$. Por la definición de $\liminf$, elija $N>0$ tal que, si $n\geq N$, then $x_n>-\frac{\epsilon}{a+C}$. Multiplying this by $x_n\geq 0$ da $$ x_n^2\geq ax_n-\frac{\epsilon x_n}{a+C}>a^2-\frac {\epsilon}{a+C}-\frac{\epsilon x_n}{a+C}\geq a^2-\epsilon $$ como se requiere.

Answer 1

Deje$L=\liminf x_n$, y eso significa que hay una subsecuencia$x_{n_k} \to L$ como$k \to \infty$. (es decir,$\lim_{k \to \infty} x_{n_k}=L$)

Por la función$f(x)=x^2$ es un continuo, entonces$(\liminf_{n \to \infty} x_n)^2=L^2=(\lim_{k \to \infty} x_{n_k})^2=\lim_{k \to \infty} x_{n_k}^2= \liminf_{n \to \infty} x_n^2$.

Para la última ecuación$\lim_{k \to \infty} x_{n_k}^2= \liminf_{n \to \infty} x_n^2$.

podemos verlo como$\liminf_{n \to \infty} x_n=inf(\bigcap _{N=1}^{\infty} \overline{{\{x_n|n>N\}}})$, y como$f(x)=x^2$ es continuo y preservar el orden, tenemos$(\liminf_{n \to \infty} x_n)^2=f(\liminf_{n \to \infty} x_n)=f(inf(\bigcap _{N=1}^{\infty} \overline{{\{x_n|n>N\}}}))=inf f(\bigcap _{N=1}^{\infty} \overline{{\{x_n|n>N\}}})=inf (\bigcap _{N=1}^{\infty} f(\overline{{\{x_n|n>N\}}}))=inf (\bigcap _{N=1}^{\infty} \overline{{\{f(x_n)|n>N\}}})=inf (\bigcap _{N=1}^{\infty} \overline{{\{x_n^2|n>N\}}})= \liminf_{n \to \infty} x_n^2$

Answer 2

El resultado general se obtiene al observar que, para todos$k\ge n\in \mathbb N,\ x_k\cdot y_k\ge \inf _{k\ge n}x_k\cdot \inf _{k\ge n}y_k$

asi que $\inf_{k\ge n} (x_k\cdot y_k)\ge (\inf _{k\ge n}x_k)\cdot( \inf _{k\ge n}y_k)$.

Si$x_k=y_k\ge 0$, entonces la igualdad se cumple porque el cuadrado del infimo de cualquier conjunto de números no negativos es el infimo de los cuadrados, por lo tanto

deje$x'_n$ ser una subsecuencia que converja a$l=\liminf x_n$. Entonces,

$\liminf x^{2}_n=\lim x'^{2}_n=\lim (x'_n\cdot x'_n)=(\lim x'_n)(\lim x'_n)=l\cdot l=l^{2}=(\liminf x_n)^{2}.$