Probar una versión de equivariante formalidad

Question

Deje $G$ ser un equipo compacto, conectado Mentira grupo funciona sin problemas en un compacto, conectado y orientado suave colector $M$. Denotamos por a $H_G^*(M)$ el correspondiente equivariant cohomology.

Tenemos un canónica mapa, el mapa de características, $$c:H^*(BG)\rightarrow H_G^*(M)$$ que dota $H_G^*(M)$ con la estructura de una $H^*(BG)$-módulo.

También hay un canónica mapa de restricción $$r:H_G^*(M)\rightarrow H^*(M).$$ Decimos que $M$ es equivariantly formal si $r$ es sobre.

Consejos sobre cómo probar la siguiente se puede apreciar:

La proposición: Si $M$ es equivariantly formal, a continuación, $H_G^*(M)\simeq H^*(M)\otimes H^*(BG)$ $H^*(BG)$- módulos.

N. B.: soy consciente de que hay muchas maneras diferentes para definir equivariant formalidad, pero me gustaría utilizar sólo el dado definiciones, si es posible.

Answer 1

$H_G^{\ast}(M)$ es la cohomología ordinario de un paquete de fibra $E$ $BG$ $M$ de la fibra. La restricción mapa $H_G^{\ast}(M)\to H^{\ast}(M)$ es inducida por la inclusión de $M$ $E$ como fibra. Desde $H^{m}(BG;\mathbb{Q})$ y $H^n(M;\mathbb{Q})$ son espacios dimensionales finitos del vector $\mathbb{Q}$ $m$ y el $n$ $H_G^{\ast}(M)\to H^{\ast}(M)$ es sobreyectiva, se satisfacen todas las condiciones del Teorema de Leray-Hirsch , que da el isomorfismo del módulo deseado.