Cuál es el valor mínimo de $abc$

Question

Si las raíces de la ecuación $$ax^2-bx+c=0$$ lie in the interval $(0,1)$, find the minimum possible value of $abc$.

Edit: me olvidé de mencionar en la pregunta que $a$, $b$, y $c$ son números naturales. Lo siento por las molestias.
Edit 2: Como Hagen von Eitzen dijo acerca de la doble raíces no se permite, se me olvidó mencionar que también. Muy triste :(

He intentado utilizar la $D > 0$ donde $D$ es el discriminante pero no puedo analizar en términos de los coeficientes. Gracias de antemano!

Answer 1

Dado: Raíces se encuentran en la $(0,1).$

Deje $f(x)=ax^2-bx+c$, y las raíces del ser $\alpha$ $\beta$

$\implies f(0) \times f(1) > 0$ (Puede ser fácilmente verificado a partir de la parabólica gráfico de $f(x)$)

o $c(a-b+c)>0$

$\implies \frac{c}{a}(1-\frac{b}{a}+\frac{c}{a})>0$

$\implies \alpha \beta (1-(\alpha + \beta) + \alpha\beta) > 0$ (Con Vieta de la Fórmula)

$\implies \alpha\beta(1-\alpha)(1-\beta) > 0$

Ahora,

Considere la posibilidad de $\alpha(1-\alpha)$,

Por AM-GM de la desigualdad,

$\alpha(1-\alpha)<\frac{1}{4}$

Del mismo modo,

$\beta(1-\beta)< \frac{1}{4}$

Multiplicando los dos anteriores desigualdades, nos,

$\alpha\beta(1-\alpha)(1-\beta)<\frac{1}{16}$

$\implies \frac{c}{a}(1-\frac{b}{a}+\frac{c}{a})<\frac{1}{16}$

$\implies c(a-b+c)<\frac{a^2}{16}$

Si nos vamos a $a$=$b$ y $c=1$, claramente estamos obteniendo el valor mínimo de $a$, es decir,

$\frac{a^2}{16}>1$

$a>4$ o mínimo $a =5$

Desde $D > 0$, $b^2-4ac > 0$ (donde $D$ es el discriminante de $f(x)=0$)

esta desigualdad se satisface para $a=b=5$ que hemos calculado anteriormente

por lo tanto, en $a=b=5$ $c=1$ el valor mínimo de $abc=25$ es alcanzado.

Answer 2

El discrimimnat $D=b^2-4ac$ debe ser positivo para asegurar que dos raíces reales distintas. (Si el doble de la raíz no está prohibido, tenemos $4x^2-4x+1$ con doble raíz en$\frac12$$abc=16$). A continuación, debemos tener $f(1)>0$, es decir, $$a+c>b.$$ Para naturals $a,c$ también contamos $ a+c\le 1+ac$ y la conclusión de $$\tag1b\le ac.$$ Si $b\le 4$ obtenemos $b\le ac<\frac14b^2\le b$, contradicción. (NOTA: Si se relaja la condición de que las raíces sean distintas, el $<$ se convierte en un $\le$, y en lugar de una contradicción nos encontramos con $b=ac=4$, por lo tanto $abc=16$). Por lo tanto $b\ge 5$ y $(1)$ $$abc\ge b^2\ge 25.$$ El mínimo es alcanzado, de hecho, como puede verse haciendo que todos los iniequalities sharp, que da: O $(a,b,c)=(5,5,1)$ o $(a,b,c)=(1,5,5)$. El primero de estos, de hecho, da dos raíces en $(0,1)$.

Answer 3

Si multiplicas la ecuación por $k$, obtendrá $$(ka)x^2-(bk)x+(ck)=0$ $ esta nueva ecuación tiene las mismas raíces que el original, por lo tanto, en $(0,1)$, pero tiene el producto de sus coeficientes $k^3abc$. Dejando $k\to\pm \infty$ (dependiendo de si $abc>0$ o $abc

Answer 4

La respuesta es $a=4$, $b=4$, $c=1$, que $x = \frac12$ (dos veces) y un % de producto $abc=16$. Búsqueda exhaustiva por todas $1 \leq a,b,c \leq 16$ no dio ninguna respuesta mejor.