Yo estaba tratando de extender la monotonía teorema de convergencia de las secuencias en $\mathbb{R}$ a las secuencias en $\mathbb{R}^n$. La monotonía teorema de convergencia de las secuencias en $\mathbb{R}$ es:
Si $X=(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ es un no-disminución de la secuencia de los números reales, entonces la secuencia de $X$ converge si y sólo si a es acotado en cuyo caso $\lim_{n\to\infty} x_n=\sup_{n\in\mathbb{N}} x_{n}$
Creo que, en el contexto de $\mathbb{R}^n$, "no decreciente" podría significar que la secuencia de las normas de los elementos es no decreciente, pero a mí me parece que esto no es suficiente para garantizar la convergencia. Creo que la noción de "dirección" es importante en este caso y que la "dirección" puede hacerse precisa si consideramos el producto escalar. Más precisamente, se podría colocar algunos de los supuestos sobre la convergencia de las $x_{n+1}\cdot x_{n}$ $n\to\infty$ (donde "$\cdot$" es el producto escalar). ¿Alguien tiene una idea de donde puedo encontrar el teorema general en el contexto de $\mathbb{R}^n$. Gracias de antemano.
