$\int^{\infty}_{-\infty}u(x,y) \,d y$ independiente de x

Question

Tengo que demostrar que \begin{eqnarray} I = \int^{\infty}_{-\infty}u(x,y) \,d y \end{eqnarray} es independiente de $x$ y encontrar su valor. donde $u(x,y)$ \begin{eqnarray} u(x,y) = \frac{1}{2\pi}\exp\left(+x^2/2-y^2/2\right)K_0\left(\sqrt{(x-y)^2+(-x^2/2+y^2/2)^2}\right) \end{eqnarray}

y $K_0$ es función Bessel modificada de segunda clase y orden cero. La evaluación de la integral con Mathematica con diferente valor de $x$ da como resultado $2.38$ pero quiero saber si es posible demostrar analíticamente.

El aumento de $x$ resultados en el aumento del término exponencial de la izquierda, pero luego se aumenta fuertemente el argumento de la función Bessel modificada por lo tanto la reducción de su valor.

Para mostrar que la integral es independiente de la $x$ es suficiente para mostrar que $\int^{\infty}_{-\infty}\frac{\, d}{\, dx}u(x,y) = 0$ pero cualquier diferenciación se parece más y más feo.

EDITAR Mathematica prueba:

 x = 100
    NIntegrate[
    (1/(2 Pi))* Exp[x*x/2 - y*y/2] BesselK[0, 
       Sqrt[(x - y)*(x - y) + (x*x/2 - y*y/2)*(x*x/2 - 
            y*y/2 )]], {y, -Infinity, x, Infinity}, MaxRecursion -> 22]

Esto da respuesta $0.378936$ independiente de la $x$. En el anterior cálculo se me perdió el factor de $\frac{1}{2\pi}$

Answer 1

¿Estás seguro de que no hay ningún error en la ecuación ?

Con : \begin{eqnarray} u(x,y) = \frac{1}{2\pi}\exp\left(+x^2/2-y^2/2\right)K_0\left(\sqrt{(x-y)^2+(-x^2/2+y^2/2)^2}\right) \end{eqnarray}

No me parece $I=\int^{\infty}_{-\infty}u(x,y) \,d y \simeq 2.38$ $I(x)$ no es constante.

Por ejemplo : el Caso de $x=0$ :

$$u(0,y) = \frac{1}{2\pi}\exp\left(-y^2/2\right)K_0\left(\sqrt{(-y)^2+(y^2/2)^2}\right)$$ $$I = \int^{\infty}_{-\infty}u(0,y) \,d y \simeq 0.64965$$ Nota : este resultado numérico no es válida, porque algunas precauciones, donde no se toma en ese momento. Los más recientes resultados numéricos confirme el valor de $0.378936$ dado por chatur.

En el radical, son los poderes no en el mismo orden ?

Nota :

La computación numérica es hazarduous porque $K_0(0)=\infty$.

La integral no es convergente en el habitual sens. Pero puede ser convergente si tenemos en cuenta el valor principal de Cauchy.

Durante computación numérica, $y$ varía desde un valor bajo $<x$ a un alto valor de $>x$. Procedimiento por pasos, puede resultamos que $y$ llega muy cerca de a $x$ y el argumento de $K_0$ estar muy cerca de $0$. En ese caso, el cálculo numérico implica transitorily algunas diferencias entre números muy grandes.

Todo depende de cómo el software para detectar el punto singular y cómo se las arreglan para tratarlo como un valor principal de Cauchy de la integración. No sé cómo Mathematica proceder. En la actualidad, no puedo decir si los valores numéricos obtenidos son significativos o no. Si era poved que los resultados de Mathematica son correctos, yo quitaría el sombrero !

NOTA 2 :

Como se ha señalado por GEdgard, la singularidad en $x=y$ es decir $K_0(0)$ es logarítmica. Así, no hay mayor dificultad para computación numérica, en la medida en que algunos se toman precauciones. Hice un par de tests numéricos sobre este punto.

Lo que es más, para varios valores de $x$ , me calcula la derivada $\frac{dI}{dx}$, que es la integral de la $\frac{du}{dx}$ . Los resultados son muy cercanos a $0$.

Este sorteo a pensar que la chatur la conjetura $I(x)=$constante podría ser exactos. Por supuesto, esta es la nota de una prueba.

Answer 2

Creo que hay un error en alguna parte. Te digo por qué. La primera de allI escribir la ecuación como siga \begin{equation} u(x,y)=g(x,y) K_0(\rho(x,y)) \end{equation} donde \begin{equation} g(x,y) =\frac{1}{2\pi}\exp\left(+x^2/2-y^2/2\right) \end{equation} Y \begin{equation} \rho(x,y) =\sqrt{(x-y)^2+(-x^2/2+y^2/2)^2} \end{equation} Ahora, por favor, tenga en cuenta que a la hora de diferenciar $g(x,y)$ con respecto al $x$ hemos \begin{equation} g_x(x,y) =x g(x,y) \end{equation} Entonces \begin{equation} \frac{d}{dx} u(x,y)=g(x,y) \left(x K_0(\rho(x,y))-K_1(\rho(x,y)) \rho_x(x,y)\right)=0 \end{equation} La diferenciación $u(x,y)$ un segundo momento tenemos: \begin{equation} \frac{d}{dx} u_x(x,y)=g_x(x,y) \left(x K_0(\rho(x,y))-K_1(\rho(x,y)) \right)+g(x,y) \left(K_0(\rho(x,y))-x K_1(\rho(x,y)) \rho_x(x,y)- K_1(\rho(x,y)) \rho_{xx}(x,y) +\frac{\rho^2_x(x,y)}{2} \left(K_0(\rho(x,y))+K_2(\rho(x,y)) \right)\right )=0 \end{equation} Comprar ecuación de la primera y segunda derivada a 0, el uso de la eqaution $g_x(x,y)= x g(x,y)$ y la propiedad de la función Bessel modificada de segunda clase: \begin{equation} \rho(x,y) \left(K_2(\rho(x,y))-K_0(\rho(x,y)) \right)=2 K_1(\rho(x,y)) \end{equation} Es posible escribir la siguiente expresión: \begin{equation} \rho(x,y) \rho_x^3(x,y)+x \rho_x^2(x,y)+ \rho_x(x,y) \rho(x,y)(1-x^2)-\rho_{xx}\rho(x,y)=0 \end{equation} Esta ecuación debe ser satisfecho por $\rho(x,y)$ definido anteriormente. Si me adaptador no cualquier error (por favor, marque porque me llena de pocas páginas y no estoy completamente seguro), la $\rho(x,y)$ como definir anterior no satisface la ecuación diferencial para $\rho$.