Comprender la derivación de la fórmula general de determinante

Question

Estoy leyendo acerca de la derivación de la fórmula general para el determinante de la matriz $T$ de Axler de Sheldon papel hacia Abajo con los Determinantes (página 15):

Comenzamos nuestra búsqueda de una fórmula para el factor determinante considerando matrices de una forma especial. Deje $a_1, ..., a_n \in \mathbb{C}$. Considere la posibilidad de un operador lineal $T$ cuya matriz es

$$\left[\begin{array}[ccccc] & 0 & & & & a_n\\ a_1 & 0 & & & \\ & a_2 & 0 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & a_{n-1}& 0 \end{array}\right];\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(9.3)$$

aquí todas las entradas de la matriz es de $0$, excepto para la parte superior de la mano derecha esquina y a lo largo de la línea justo debajo de la diagonal principal. Vamos a encontrar la el determinante de a $T$. Tenga en cuenta que $T^n=a_1\cdots a_nI$. Debido a que la primera columnas de $\{I, T, ..., T^{n-1}\}$ son linealmente independientes (suponiendo que que ninguno de los $a_j$$0$), no polinomio de grado menor que $n$ puede aniquilar (es decir, el polinomio de $q$ s.t. $q(T)=0$) $T$. Por lo tanto $z^n-a_1\cdots a_n$ es el mínimo polinomio de $T$. Por lo tanto $z^n-a_1\cdots a_n$ es también el polinomio característico de a $T$. Así

$$\det T = (-1)^{n-1}a_1\cdots a_n.$$

(Si algunos $a_j$$0$, entonces claramente $T$ a no es invertible, entonces $\det T = 0$, y la misma fórmula contiene.)

Ahora vamos a $\tau$ ser una permutación de $\{1 ,...,n\}$, y considerar la posibilidad de una matriz de $T$ cuyas $j^{th}$ columna consta de ceros excepto en $a_j$ $\tau(j)^{th}$ fila. El permutación $\tau$ es un producto de permutaciones cíclicas. Por lo tanto $T$ es similar (y por lo tanto tiene el mismo determinante como) un bloque diagonal la matriz donde cada bloque de tamaño mayor que uno tiene la forma de (9.3). El determinante de un bloque diagonal de la matriz es, obviamente, el producto de los determinantes de los bloques, y sabemos que a partir de la última párrafo cómo calcular los.

Así vemos que $\det T = (\text{signo}\;\tau) \,a_1 \cdots a_n$. Para poner esto en una forma que no depende de la particular permutación $\tau$, vamos $\tau_{i,j}$ el valor de la entrada en la fila de la fila $i$ columna $j$ $T$ (para $t_{i,j} = 0$ si $i=\tau(j)$), y deje $P(n)$ denota el conjunto de todas las permutaciones de $\{1, ..., n\}$. Entonces

$$\det T = \sum_{\pi \en P(n)} (\text{signo}\,\pi) \;t_{\pi(1), 1}, ..., t_{\pi(n), n}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(9.4)$$

debido a que cada sumando es $0$ a excepción de la correspondiente a la permutación $\tau$. Considere ahora una matriz arbitraria $T$ con entradas $t_{i,j}$. Usando el párrafo anterior como la motivación, suponemos que la fórmula para $\det T$ está dada por (9.4). La siguiente proposición muestra de que esta suposición es correcta y se da la fórmula habitual para la el determinante de una matriz.

La proposición 9.5

$$\det(T) = \sum_{\pi \en P(n)} (\text{signo}\,\pi) \;t_{\pi(1), 1}, ..., t_{\pi(n), n}.$$

Ahora la parte donde tengo problemas es el siguiente:

(1) Ahora vamos a $\tau$ ser una permutación de $\{1 ,...,n\}$, y considerar la posibilidad de una matriz de $T$ cuyas $j^{th}$ columna consta de ceros excepto en $a_j$ $\tau(j)^{th}$ fila. (2)La permutación $\tau$ es un producto de permutaciones cíclicas. (3) Lo $T$ es similar (y por lo tanto tiene el mismo determinante como) un bloque diagonal la matriz donde cada bloque de tamaño mayor que uno tiene la forma de (9.3). (4) El determinante de un bloque diagonal de la matriz es, obviamente, el producto de los determinantes de los bloques, y sabemos que a partir de la última párrafo cómo calcular los.

He aquí mis preguntas de esta parte:

1. ¿En qué forma $T$ tiene en este caso? Tiene la misma forma que una permutación de la matriz , salvo que las entradas se $a_j$s?
2. "La permutación $\tau$ es un producto de permutaciones cíclicas." ¿Qué significa esto?
3. No entendía por qué la $T$ es similar a la del bloque de matriz diagonal? ¿Por qué es? Pueden los bloques ser diferentes en tamaño? ¿Qué tamaño significa en este contexto, la columna de la fila de la dimensión de la matriz?
4. "El determinante de un bloque diagonal de la matriz es, obviamente, el producto de los determinantes de los bloques". Esto no es obvio para mí. ¿Por qué es esto cierto?

Gracias por la ayuda!

P. S. Si usted necesita más información, por favor me informan. Las páginas relevantes (necesario proposiciones, definiciones, etc.) en el artículo de referencia más arriba con respecto a mi pregunta: 7, 8, 9, 14, 15.

Por favor, tenga en cuenta que le agradecería mucho si pudiera conseguir determinante libre de respuestas (si se puede), lo que significa que la respuesta por ejemplo a la pregunta (4) no usar las propiedades de estos , sino más bien a usarse, por ejemplo, los autovalores ya que este es de Sheldon enfoque en el papel.

Answer 1

1. Correcto. Es una permutación de la matriz con entradas de $a_i$ en lugar de $1$.

2 y 3. Esto implica algunos conceptos de la teoría de grupos. Voy estado de los básicos y mostrar a los demás el uso de ejemplos. Una permutación es un bijective mapa a partir de un conjunto $A$ a sí mismo. Todas las permutaciones en $A$ formar un grupo, que se denota por a $S_A$, con operación $\circ$, la composición de las permutaciones. Una bonita propiedad de $S_n$ (permutación de grupo en $n$ elementos) es que puede ser escrito como un producto de ciclos disjuntos. (Para definir el ciclo, tendremos que definir la órbita y de clases de equivalencia.) Para nuestro propósito, solo voy a usar un ejemplo para ilustrar esta afirmación. Vamos $$\sigma=\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6\\ 6&5&2&4&3&1\end{pmatrix}\en S_6.$$ Esto significa que el mapa de $\sigma$ mapas de $1$ a $6$, $2$ a $5$, etc. Vemos a un ciclo de $1\rightarrow 6\rightarrow 1$, y otro ciclo de $2\rightarrow 5\rightarrow 3\rightarrow 2$. Observe que $4$ no cambia en $\sigma$. Así que escribir $\sigma=(1 6)(2 5 3)$. Esto es equivalente a $(6 1)(5 3 2)=(6 1)(3 2 5)$. Ahora consideremos la matriz $T$ correspondiente a la permutación $\sigma$. $$T=\begin{pmatrix} 0&0&0&0&0&a_6\\ 0&0&a_3&0&0&0\\ 0&0&0&0&a_5&0\\ 0&0&0&a_4&0&0\\ 0&a_2&0&0&0&0\\ a_1&0&0&0&0&0 \end{pmatrix}$$ Recuerde que queremos agrupar $a_1,a_6$, e $a_2,a_5, a_3$ juntos. Aviso de que la mudanza de la $a_1, a_6$ a las dos primeras filas y las columnas de involucrar mismo permutaciones en las filas y las columnas. Esto es equivalente a multiplicar por algunos de permutación $P$ a la izquierda y $P^T$ a la derecha, que da una matriz. Mismo para el otro ciclo $(2 5 3)$. Debido a que el ciclo, $a_2$ se coloca en la fila $5$, $a_5$ se coloca en la fila $3$ $a_3$ se coloca en la fila $2$. Para la realización de la misma permutación de filas y columnas de ponerlos en la siguiente manzana de la diagonal. De nuevo llegamos similares de la matriz. El resultado es el siguiente: $$\left(\begin{array}{cc|ccc|c} a_1&0&0&0&0&0\\ 0&a_6&0&0&0&0\\ \hline 0&0&0&a_3&0&0\\ 0&0&0&0&a_5&0\\ 0&0&a_2&0&0&0\\ \hline 0&0&0&0&0&a_4 \end{array}\right)$$

Ahora usted puede ver el primer $2\times 2$ bloque, seguido por un $3\times 3$ bloque. Necesitamos reorganizar las letras para hacer de ellos la forma en (9.3). Voy a mostrar esta utilizando el $3\times 3$ bloque. Podemos cambiar $a_2, a_3,a_5$ $b_1, b_2, b_3$y vemos que esta $3\times 3$ bloque representa una permutación $\tau=(1 3 2)$. Si usted busca para "conjugar una permutación", usted verá que no existe una permutación $\delta$, de tal manera que $\delta^{-1}\tau\delta=(1 2 3)$, lo que le da la forma que queremos. Y, obviamente, esto nos da una similar de la matriz. (Nota:$P_{\sigma\circ \tau}=P_{\sigma}P_{\tau}$.)

4. Ahora supongamos que $T$ es en la forma deseada, con $T_1, \dots, T_r$ de los bloques. Deje $x_1, \dots, x_r$ ser de cualquiera de los vectores propios de a $T_1, \dots, T_r$, con autovalores $\lambda_1, \dots, \lambda_r$, respectivamente. Vemos que $$T\cdot \begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0\\ x_i\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{pmatrix}=\lambda_i\cdot \begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0\\ x_i\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{pmatrix}$$ debido a la estructura del bloque de $T$. Esto significa que los valores propios de a $T$ consiste exactamente los autovalores de todos los $T_i$. Por lo tanto el determinante de a $T$ es el producto de los determinantes de la $T_i$.

Espero que esto ayude.

Editar:

Se puede ver que (9.3) es la matriz correspondiente a la permutación $$\sigma=\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6\\ 2&3&4&5&6&1\end{pmatrix}\en S_6.$$ Utilizando el ciclo de notación, es $(123456)$.

Edit: (para responder A la pregunta de en $\text{sign}\pi$) El signo de una permutación se define a ser $-1$ a la potencia del número de transposiciones la permutación se puede descomponer. Por ejemplo, $$(123456)=(16)(15)(14)(13)(12)$$ De modo que el signo de $(123456)$$(-1)^5=-1$. $$(16)(253)=(16)(25)(23)$$ De modo que el signo de $(16)(253)$$(-1)^3=-1$. Básicamente, un ciclo de $(12\cdots n)$ puede ser escrito como $(1n)(1, n-1)\cdots(12)$. De modo que el signo de es $(-1)^{n-1}$. Usted puede ver esto en el determinante de la fórmula de (9.3). Observe que el signo de la permutación no cambia cuando se descompone o cambiar su forma de ciclos disjuntos. Esto le da a usted la fórmula $$\det T=\text{sign}\tau a_1\cdots a_n$$ donde $\tau$ es cualquier permutación y $T$ es la matriz correspondiente.

Ahora para el $\pi$, el autor es simplemente decir que nuestro específico $T$, sólo hay una permutación, es decir,$\tau$, lo que contribuye a la suma. Todos los otros términos son cero. Él lo puso en esta forma general, de modo que él puede hacer una conjetura para el caso general, que lo hace en la Proposición 9.5. Por lo $\text{sign}\pi$ es sólo el $\text{sign}\tau$ hemos discutido en el párrafo anterior.