Deje $S$ ser una expresión algebraica conjunto de $k^n$ donde $k$ es un campo y dejar a $f \in k[x] \doteq k[x_1,\cdots,x_n]$. Estoy interesado en expresar $Y \doteq S-Z(f)$ como un conjunto algebraico, es decir, como la puesta a cero de algunos polinomios. Intuitivamente puedo ver que $Y$ corresponde a $(I_S)_f\doteq I_S \left(k[x] \right)_f$, que es el ideal generado por la fuga ideal de $S$ localizada en el anillo de $\left(k[x] \right)_f$. En otras palabras $Y=Z((I_S)_f)$. El problema con esta expresión es que $(I_S)_f$ no es un ideal en un polinomio anillo, así que no estoy seguro de si $Y$ es un conjunto algebraico, estrictamente hablando. Cualquier forma de resolver esto?
Respuesta
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Primera nota de que $Y$ no es, en general, corta por la ecuación polinómica en $k^n$. Lo que es cierto, es que se pueden "embeber" $Y$ en un espacio afín ($k^{n+1}$) para conseguir una puesta a cero de algunos polinomios.
Se tenía la idea correcta de usar el ideal generado por la fuga ideal de $S$ localizada en el anillo de $(k[x])_f$. Ahora lo que yo creo que Youngsu significa en su comentario, es que $k[x]_f\equiv k[x][t]/(tf-1)$ y por lo tanto, esta $Y$ tiene definido es un subconjunto cerrado de la variedad afín correspondiente a $k[x][t]/(tf-1)$. Si aún no has aprendido esto, se puede observar que el ideal de $<I_S>+(tf-1)\subset k[x][t]$ va a cortar un subconjunto que si el proyecto de la $t$ coordinar a $0$ va a obtener exactamente la intersección que quería.
EDIT: voy a explicar la última frase en más detalles: Vamos a $I_S=I(S)\subset k[x]$, y se denota por a $<I_S>\subset k[x][t]$ el ideal generado por a $I_S$. Deje $I=<I_S>+(tf-1)$. Tenemos la proyección de $\pi:k^{n+1}\to k^n$ definido por $(x_1,\ldots,x_n,t)\mapsto (x_1,\ldots,x_n)$, y mi reclamo es que $\pi(V(I))=Y$.
Para demostrar esto, en primer lugar tenga en cuenta que $V(I)=V(<I_S>)\cap V(tf-1)$. Ahora, $$V(<I_S>)=V(I_S)=\{(x_1,\ldots,x_n,t)\in k^{n+1}|\forall g\in I_S. g(x_1,\ldots,x_n,t)=g(x_1,\ldots,x_n)=0\}=\{(x_1,\ldots,x_n,t)|(x_1,\ldots,x_n)\in V(I_S)\subset k^n\}.$$ Y, (esta parte es muy importante entender y de recordar), $$V(tf-1)=\{(x_1,\ldots,x_n,t)|t\cdot f(x_1,\ldots,x_n)=1\}=\{(x_1,\ldots,x_n,\frac{1}{f(x_1,\ldots,x_n)})|f(x_1,\ldots,x_n)\ne 0\}.$$ Así que en total tenemos $$V(I)=\{(x_1,\ldots,x_n,\frac{1}{f(x_1,\ldots,x_n)})|(x_1,\ldots,x_n)\in Y\}$$ and we see that $\pi(V(I))=Y$.
