¿Cuándo son isomorfos los tori cartográficos como haces sobre el círculo?

Question

Supongamos que $\Sigma$ es un género orientable- $g$ superficie (posiblemente con límite). El toroide cartográfico correspondiente a un difeomorfismo que preserva la orientación $\phi: \Sigma \to \Sigma$ es el cociente $M_\phi = \Sigma \times [0,1] / (x,0) \sim (\phi(x),1)$ que tiene una estructura de haz natural $\pi_\phi : M_\phi \to S^1$ con fibra $\Sigma$ . Si dos toros cartográficos son isomorfos como haces sobre $S^1$ entonces son ciertamente homeomórficas. Pero lo contrario es falso. Tengo curiosidad acerca de una condición más fuerte:

Si un homeomorfismo de tori de mapeo $f: M_\phi \to M_{\phi'}$ puede ser homotopado para llevar al menos una fibra de $\pi_\phi$ a uno de $\pi_{\phi'}$ ¿es homotópico a un isomorfismo de haz?

Answer 1

Sí, es cierto. También podemos suponer $f$ es un homeomorfismo que ya preserva una de las fibras. Ahora corta el homeomorfismo abierto a lo largo de esa fibra. Entonces ambas variedades son ahora homeomorfas a $\Sigma \times [0,1]$ y podemos identificar su homeomorfismo con un homeomorfismo $\Sigma \times [0,1]$ a sí mismo; supongamos que conserva $\Sigma \times \{0\}$ o simplemente componer con un reflejo para que esto sea cierto; entonces, si $f_0$ es la restricción del homeomorfismo a $\Sigma \times \{0\}$ componer con $f_0^{-1} \times \text{id}$ . Ahora tienes un homeomorfismo de $\sigma \times [0,1]$ a sí misma que es la identidad de un lado. Para ser precisos, esto es lo mismo que un pseudoisotopía de $\Sigma$ . Su pregunta es: ¿es esta pseudoisotopía homotópica (rel el límite) a un homeomorfismo fiberwise (es decir, una isotopía)? Mejor aún, ¿es isotópico a una isotopía?

La respuesta a esta pregunta dice: ¡sí! (Aquí se permiten modificar el mapa en el $\times \{1\}$ lado, pero puedes cambiar fácilmente los argumentos para que no lo hagan). Así que tu homeomorfismo es isotópico a uno que preserva la fibra; pegando los lados de nuevo, obtenemos que tu homeomorfismo $M_\phi \to M_{\phi'}$ es isotópico a un isomorfismo de haz.