¿Cómo calcular esta integral que implica una exponencial?

Question

Me gustaría calcular la integral $$\int_{0}^{\infty} xe^{-x(y+1)}dy.$$ Creo que tengo los primeros pasos correctos. Primero $$\int_{0}^{\infty} xe^{-x(y+1)}dy = x\int_{0}^{\infty} e^{-x(y+1)}dy.$$ A continuación, selecciono $u = -x(y+1)$ así que $du = -xdy$ y $dy = \frac{du}{-x}$ . Por lo tanto, $$x\int_{0}^{\infty} e^{-x(y+1)}dy = x\int_{0}^{\infty} \frac{e^{u}du}{-x} = -\int_{0}^{\infty} e^{u}du.$$ No entiendo cómo resolverlo desde aquí. He intentado $$-\int_{0}^{\infty} e^{u}du = -(e^{\infty} - e^{0}) = -(0 - 1) = -1$$ pero mi libro de texto dice que debería ser $e^{-x}$ . Supongo que lo que no entiendo es el paso de la sustitución por la espalda. ¿Cómo se hace esto?

Answer 1

Te has olvidado de los límites de la integral. Cuando estás sustituyendo, los límites pueden cambiar. Cuando se opera sobre los límites como $\pm\infty$ intenta encontrar primero la antiderivada. Es cierto que

$$I=\int x e^{-x(y+1)}\,dy=-\int e^u\,du=-e^u+C$$

donde $u=-x(y+1)$ Por lo tanto

$$I=-e^{-x(y+1)}$$

y para $x>0$ :

$$\int_0^\infty x e^{-x(y+1)}\,dy=\left[-e^{-x(y+1)}+C\right]_0^\infty=0-(-e^{-x})=e^{-x}$$

Answer 2

Como 'x' es una constante aquí, puedes sacarla de la integración, básicamente sólo tienes que integrar $e^{-x(y+1)}$ con respecto a y. por lo tanto, la respuesta (utilizando las sustituciones de u requeridas debería ser - $e^{-x(1+y)}$ (La 'x' que habíamos sacado se anuló) al introducir los límites, obtenemos la respuesta como $e^{-x}$ .

Answer 3

$$\int_{0}^{\infty} xe^{-x(y+1)}dy = xe^{-x}\int_{0}^{\infty} e^{-xy}dy= \lim_{t\to\infty}xe^{-x}\frac{e^{-xy}}{-x}\Bigg|_{y=0}^t= e^{-x}\lim_{t\to\infty}e^{-xy}\Bigg|_0^t=\quad e^{-x}\lim_{t\to\infty}(e^{-xt}-1)= \begin{cases} e^{-x}&x>0\\ 0&x=0\\ \infty&x<0 \end{cases} $$

Answer 4

1) La integral indefinida:

$$\int xe^{-x(y+1)}\space\space\text{d}y=$$ $$x\int e^{-x(y+1)}\space\space\text{d}y=$$ $$x\int e^{x(-y)-x}\space\space\text{d}y=$$

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Sustituir $u=x(-y)-x$ y $\text{d}u=-x\space\space\text{d}y$ :

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$$-\int e^{u}\space\space\text{d}u=$$ $$-e^u+\text{C}=$$ $$-e^{-x(y+1)}+\text{C}$$

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2) Establecer los límites

• Infinito:

$$\lim_{y\to\infty}\left(-e^{-x(y+1)}\right)=0,x>0$$

• Cero:

$$\lim_{y\to 0}\left(-e^{-x(y+1)}\right)=-e^{(1+0)(-x)}=-e^{-x}$$

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Así que su respuesta final nos da:

$$\int_{0}^{\infty}xe^{-x(y+1)}\space\space\text{d}y=e^{-x}\space\space,\Re(x)>0$$