Obedece a la base bien fundada de un modelo de % de sólidas $\operatorname{ZF}^-$$\Sigma_0$-colección

Question

Deje $\mathcal A = (A;E)$ ser un modelo de $\operatorname{ZF}^-$ de manera tal que su bien fundada core $\operatorname{wfc} (\mathcal A)$ (también escribiremos $\operatorname{wfc}(\mathcal A)$ de su universo) es un modelo transitivo con el verdadero $\in$-relación. Me gustaría ver que $\operatorname{wfc}(\mathcal A)$ es un modelo de $\Sigma_0$-de la colección. Para este fin de corregir $u,p_1, \ldots, p_n \in \operatorname{wfc}(\mathcal A)$ $\Sigma_0$ fórmula $\phi$ s.t. $$ \operatorname{wfc} (\mathcal A) \modelos \forall x \u,\existe y \colon \phi(x,y,p_1, \ldots, p_n). $$ Como $\mathcal A$ es un modelo de $\operatorname{ZF}^-$ $\phi$ es absoluta entre el $\mathcal A$ y su bien fundada núcleo, hay algunos $v \in A$ s.t. $$ \mathcal Un \modelos \forall x \u,\existe y \v \colon \phi(x,y,p_1, \ldots, p_n) $$ y cuyo rango (calculado en $\mathcal A$) es mínima con esta propiedad.

¿Cómo puedo argumentar que $v \in \operatorname{wfc}(\mathcal A)$?

Answer 1

Supongamos que $v \not \in \operatorname{wfc}(\mathcal A)$. A continuación, hay algunos $y_0 \in v \setminus \operatorname{wfc}(\mathcal A)$ y hemos $$ \mathcal Un \modelos \operatorname{rango}(y) < \operatorname{rango}(y_0) $$ para todos los $y \in \operatorname{wfc}(\mathcal A)$. Como $$ \operatorname{wfc} (\mathcal A) \modelos \forall x \u, \existe y \phi(x,y,p_1, \ldots, p_n) $$ este rendimientos $$ \mathcal Un \modelos \forall x \u, \existe y (\phi(x,y,p_1, \ldots, p_n) \wedge \operatorname{rango}(y) < \operatorname{rango}(y_0)). $$ El uso de la Colección, ahora podemos corregir algunos $v' \in A$ s.t. $$ \mathcal Un \modelos \forall x \u, \existe y \v' (\phi(x,y,p_1, \ldots, p_n) \wedge \operatorname{rango}(y) < \operatorname{rango}(y_0)), $$ lo que implica $\operatorname{rank}^{\mathcal A}(v') \le \operatorname{rank}^{\mathcal A}(y_0) < \operatorname{rank}^{\mathcal A}(v)$. Contradicción!