Significado confuso "Teorema esquema"

Question

Estaba leyendo Enderton "Elementos de la Teoría de conjuntos", y vino sobre el,

Transfinie Recrursion Teorema Esquema: Para cualquier fórmula $\gamma(x,y)$ el siguiente es un teorema. Suponga $<$ es un bien de pedidos en $A$. Supongamos que para cualquier $f$ hay un único, $y$ tal que $\gamma (f,y)$. Entonces existe una única función de $F$ dominio $A$ tal que $$ \gamma (F \upharpoonright \text{seg }t , F(t)) $$ para todos los $t \in A$.

Estoy confundido ¿qué se entiende por el Teorema del Esquema aquí. Enderton explica esto como un "infinito paquete de teoremas". Pero ¿cuál es el punto?

Cuando escribimos un teorema, no nos acaba de escribir una declaración? Por qué limitarnos a una forma específica? Me siento como el Teorema del Esquema es la limitación de nuestro alcance, en lugar de ayudar - o tal vez estoy completamente comprendido su propósito.

Puede alguien explicar? Gracias!

Answer 1

El pasaje que se cita afirma que una determinada familia infinita de conjunto teórico declaraciones son todo demostrable a partir de los axiomas del sistema bajo consideración, probablemente ZFC. Así es que describe una familia infinita de conjunto de la teoría de teoremas. La familia contiene una instrucción para cada elección de la fórmula $\gamma(x,y)$. Es decir, una vez que elija una fórmula $\gamma(x,y)$, el asociado es el teorema de la parte de la cita de "Asumir la $<$ $\dots$" a la final "$\dots$ todos los $t\in A$."

Es razonable preguntarse por qué Enderton no sólo el estado de un único teorema, que comienza con "Para todas las fórmulas $\gamma(x,y)$ si $<$ es un buen orden $\dots.$" Hay dos razones para eso, pero ambos se reducen a: Que la sola declaración de no ser una declaración de principios de la teoría de conjuntos así que no pudo ser demostrado en ZFC (o cualquier sistema de axiomas es bajo consideración).

La primera razón es temporal: no creo que Enderton el libro contiene ninguna educación formal, el conjunto de la teoría de la definición de "fórmula", por lo que "Para todas las fórmulas" no está formalizada en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Me dijo que esta razón es temporal, porque el concepto de "fórmula" podría ser formalizado en la teoría de conjuntos (como casi cualquier otra noción matemática); Enderton sólo no ha hecho nada de eso.

La segunda razón por la que, sin embargo, es permanente. Incluso si usted formalizar, en la teoría de conjuntos, la noción de "fórmula" y, a continuación, tratar de expresar Enderton del esquema como una sola instrucción, con $\gamma$ ahora ser una variable vinculada (desde que comienza "Para todos los $\gamma$") que usted necesita para expresar lo que significa para un $\gamma$ ser el caso particular de los conjuntos de $x,y$. Esto no puede ser formalizado en el conjunto de la teoría. Es decir, la noción general de la verdad para el conjunto de la teoría de las fórmulas en sí no es expresable como un conjunto teórico de la fórmula. Este hecho es Tarski "undefinability de la verdad" teorema, y se aplica no sólo a la teoría de conjuntos, sino también a cualquier suficientemente fuerte (y coherente) teoría matemática.

Porque de esta segunda razón, es imposible tratar de convertir Enderton del teorema de esquema en un único teorema de la teoría de conjuntos; estamos atascados con un esquema.

Answer 2

Lo que me preguntaba cuando me encontré con un "axioma esquema" en este mismo libro es por qué no lo llaman un "axioma", y lo mismo se aplica a cualquier "teorema del esquema". Ciertamente, cada una de las afirmaciones demostrables en el sistema axiomático es un teorema, pero ¿por qué no la afirmación de que todos ellos son comprobable no también un "teorema", sino un "teorema"esquema?

Enderton es llamar a algo un teorema o un axioma sólo si puede ser escrito en un determinado lenguaje formal. Pero, ¿por qué? La respuesta es que para las cosas escritas en ese idioma, se tiene un sistema de prueba que goza de las siguientes propiedades:

• solidez, es decir, cada modelo de la satisfacción de los axiomas también satisface cada declaración que puede ser demostrado;
• integridad, es decir, cada instrucción que es verdadera en todos los modelos de la satisfacción de los axiomas puede ser probado; y
• la eficacia, es decir, hay una prueba de comprobación de algoritmo. (Y es un muy eficiente algoritmo.)

Sin embargo, él no explica que ya no es una lógica de curso. ¿Y cómo se prueba que un "teorema" esquema no es expresable como una declaración en el lenguaje formal? De nuevo, que no se explica porque no es un libro sobre la lógica.

(Enderton también escribió un libro sobre lógica en la que el primero realmente sustancial es el teorema en la página 128. Que puede ser tedioso.)

Answer 3

En definitiva, lo que está demostrado es un meta-teorema que dice:

Tomar cualquier $2$-parámetro de la sentencia de $γ$ más de ZFC tal que ZFC prueba "$\forall f\ \exists! y\ ( γ(f,y) )$".

Entonces ZFC demuestra $φ_γ$, que es la pena ...

Este meta-teorema puede aplicarse (en el meta-sistema) para todas las fórmulas de más de ZFC, dando un esquema de los teoremas más de ZFC. Por cierto, este meta-teorema en sí es demostrable en ZFC, pero eso no es lo que quieres, porque sería un nivel más profundo. Específicamente, dentro de ZFC no puede de "ZFC demuestra $φ_γ$" derivar "$φ_γ$". Así que cuando usted está trabajando dentro de ZFC no desea invocar el teorema de esquema dentro, porque entonces usted está atascado con una declaración acerca de ZFC y no $φ_γ$ solo. En lugar de ir fuera de la meta-sistema, observan que ZFC demuestra $φ_γ$, y, a continuación, vuelva a entrar a donde ahora tiene $φ_γ$.

En otras palabras, la meta-teorema muestra que podemos para cualquier particular, $γ$ escribir una prueba más de ZFC "$φ_γ$", y por lo que es válido para el uso de "$φ_γ$" como un axioma en cualquier lugar en una prueba más de ZFC. Es entonces como el axioma de ZFC esquemas donde cada esquema no puede ser expresado como un único axioma más de ZFC.