Pasar a una métrica conforme

Question

Dada una métrica genérica de 2 dimensiones $$ ds^2=E(x,y)dx^2+2F(x,y)dxdy+G(x,y)dy^2 $$ cuál es el cambio de coordenadas que lo mueve a la forma conforme $$ ds^2=e^{\phi(\xi,\zeta)}(d\xi^2+d\zeta^2) $$ ser $\xi=\xi(x,y)$ y $\zeta=\zeta(x,y)$ ? ¿Es generalmente conocido? También una buena referencia será de utilidad.

Gracias de antemano.

Answer 1

Este problema equivale a resolver la ecuación de Beltrami $f_{\bar z}=\mu f_{z}$ donde el coeficiente $\mu$ proviene de la métrica dada, como se explica en la página de Wikipedia enlazada por @WillieWong. La solución puede ser a veces semigestionada cuando el coeficiente es realmente simple. Al menos deberías intentarlo. Pero en general la solución viene como una serie infinita que involucra operadores integrales singulares. Esto está cuidadosamente escrito en el libro de Astala, Iwaniec, Martin .

Answer 2

Por favor, compruebe la teoría matemática de los agujeros negros de Chandrashekhar, sección 11 del capítulo 2.