Encontrar todas las soluciones reales del sistema: $x^3=y+y^5$, $y^5=z+z^7$, $z^7=x+x^3.$

Question

Dado: $$\left\{ \begin{array}{l} x^3=y+y^5\\ y^5=z+z^7\\ z^7=x+x^3 \end{array} \right. $$ Buscar: todas las soluciones reales para el sistema.

De un libro en preparación para concursos de matemáticas. La respuesta de los estados no es sólo una solución. Mi problema es que muestran que este es realmente el caso.

Mi intento: es fácil ver que una solución es $(x,y,z)=(0,0,0)$. Y, sumando las ecuaciones, llegamos a $x+y+z=0$. Pero mi problema es que demuestra que esta solución es realmente única, si la respuesta que se proporciona en el libro está a la derecha.

Consejos y respuestas son apreciados. Lo siento si esto es un duplicado.

Answer 1

Que $x>0$.

Por lo tanto, $z^7=x(1+x^2)>0$, que $z>0$.

Además, $y^5=z(1+z^6)>0$, que $y>0$.

Pero la suma de todas las ecuaciones da $x+y+z=0$, que es una contradicción.

De la misma manera podemos obtener una contradicción $x

Así, $x=0$ y de aquí obtenemos $x=y=z=0.$

Answer 2

Multiplicando las tres ecuaciones da $x^3 y^5 z^7 = x y z (1+x^2)(1+y^4)(1+z^6)\,$.

Si $xyz \ne 0$ entonces se sigue que $x^2 y^4 z^6 = (1+x^2)(1+y^4)(1+z^6)\,$, pero este último no es posible desde $0 \le x^2 \lt 1+ x^2, 0 \le y^4 \lt 1+y^4, 0 \le z^6 \lt 1+ z^6\,$.

Por lo tanto $xyz=0\,$ y es fácil demostrar que cualquier una de $x,y,z$ $0$ implica a todos ellos ser $0$.