Distribución de Poisson: Estimación de parámetros de velocidad y la longitud del intervalo

Question

Aquí está la motivación para mi pregunta. Tengo un sensor que informa sobre los datos para mí. La aparición de los informes de que el sensor sigue un proceso de Poisson (por lo que, obviamente, la inter-evento de veces son exponenciales). Asumo una constante evento de la tasa de $\lambda$.

El dispositivo, sin embargo, puede fallar. Deje $T_F$ ser la falta de tiempo. Después del fracaso, el caso de las apariciones no son reportados. Así que lo que observan los tiempos de evento $t_1,t_2,\ldots,t_n$ que se han producido en algunos intervalo de $(0,T_F)$. No tengo información previa.

Así que esto es sólo un estándar de Poisson "set-up", excepto que no sé la longitud del intervalo sobre el cual los eventos pueden ser observadas. Quiero cálculo de la tasa de $\lambda$ y la longitud del intervalo de $T_F$.

He tratado de escribir las ecuaciones para el máximo de estimaciones de probabilidad para$\lambda$$T_F$, pero me estoy dando cuenta de que no tiene solución. (Tal vez he cometido un error.)

Parece que este debe ser lo suficientemente simple problema estándar. No he sido capaz de encontrar una respuesta (en parte porque las búsquedas que incluyen el término "intervalo" retorno de un gran número de páginas/respuestas acerca de los intervalos de confianza). Cualquier ayuda o consejos para las referencias, sería muy apreciado.

Answer 1

Deje $t=T_F$. Condicional sobre el número de ocurrencias $N=n$, los tiempos de llegada de $t_1,t_2,\dots,t_N$ se sabe que tienen la misma distribución que la orden statstics de $n$ iid unif$(0,t)$ variables aleatorias. Por lo tanto, la probabilidad se convierte en \begin{align} L(\lambda,t) &= P(N=n) f(t_1,t_2,\dots,t_N|N=n) \\ &= \frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^n}{n!}\frac{n!}{t^n} \\ &= e^{-\lambda t}\lambda^n. \end{align} para $t\ge t_n$ y cero en otro lugar. Este es maximizada por $\hat t=t_n$$\hat\lambda=n/t_n$. Estos Emv no existen si no hay apariciones $N=0$, sin embargo. Condicional en $N=n$, utilizando de nuevo el hecho de que $t_n$ puede ser visto como un fin de estadística (el máximo) de $n$ iid unif$(0,t)$ variables aleatorias, $E(t_N|N=n)=\frac n{n+1} t$. Por lo tanto, el estimador $t^*=\frac {n+1}n t_n$ es imparcial para $t$ condicional en $N=n$ y, por tanto, también condicionada a $N\ge 1$. Una razonable frecuentista estimador de $\lambda$ podría ser$\lambda^* = n/t^* = \frac{n^2}{(n+1)t_n}$, pero esto no tiene finita expectativa al$N=1$, por lo que la evaluación de su sesgo es aún más problemático.

La inferencia bayesiana utilizando independiente, que los informativos de la escala de los priores en $\lambda$ $t$ por otro lado conduce a una posterior $$ f(\lambda,t|t_1,\dots,t_N) \propto e^{-\lambda t}\lambda^{n-1}t^{-1}. $$ para $t>t_n,\lambda>0$. La integración de salida $\lambda$, el marginal posterior de $t$ se convierte en $$ f(t|t_1,\dots,t_N) = \frac{n t_n^n}{t^{n+1}}, t>t_n, $$ y la parte posterior de la media de $E(t|t_1,\dots,t_N)=\frac n{n-1} t_n$. Un $(1-\alpha)$-creíble intervalo de $t$ está dado por $\left(\frac{t_n}{(1-\alpha/2)^{1/n}}, \frac{t_n}{(\alpha/2)^{1/n}}\right)$.

El marginal posterior de $\lambda$, \begin{align} f(\lambda|t_1,\dots,t_N) &\propto \int_{t_\text{max}}^\infty e^{-\lambda t}\lambda^{n-1}t^{-1} dt \\ &= \lambda^{n-1}\Gamma(0,\lambda t_n) \end{align} donde $\Gamma$ es la función gamma incompleta.